MT【278】二次齊次化
對於$c>0$,當非零實數$a,b$滿足$4a^2-2ab+4b^2-c=0,$且使$|2a+b|$最大時,$\dfrac{3}{a}-\dfrac{4}{b}+\dfrac{5}{c}$的最小值為_____
分析:此類題要知道方法是很簡單的,重在平時積累,此題是2014年的高考填空壓軸題，和2008年華約自招三一題類似.
構造$(2a+b)^2-k(4a^2-2ab+4b^2)=0$,令$\dfrac{a}{b}=t$, 得
$(4-4k)t^2+(4+2k)t+1-4k=0$令$\Delta =0$得$k=0$或$k=\dfrac{8}{5}$,
易知$k=\dfrac{8}{5}$時$(2a+b)^2$有最大值$\dfrac{8}{5}c$,
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