四元數的作用

表達旋轉。

旋轉的表達方式有很多種，有尤拉角，旋轉矩陣，軸角，四元數(unit quaternion)，unit quaternion是一種表達旋轉的方式。

不同的旋轉表達方式概覽

（1）尤拉角：

尤拉角使用最簡單的x,y,z值來分別表示在x，y，z軸上的旋轉角度，其取值為0-360(或者0-2pi），一般使用roll，pitch，yaw來表示這些分量的旋轉值。

優缺點：

這裡的旋轉是針對世界座標系說的，這意味著第一次的旋轉不會影響第二、三次的轉軸。

1）不易在任意方向的旋轉軸插值； 2）萬向節死鎖；3）旋轉的次序無法確定。

（2）軸角：

用一個以單位向量定義的旋轉角，再加上一個標量定義的旋轉角來表示旋轉。通常的表示[x,y,z,theta]，前面三個表示軸，最後一個表示角度。

優缺點：

表示非常直觀，也很緊湊。
軸角最大的一個侷限就是不能進行簡單的插值，此外，軸角形式的旋轉不能直接施於點或向量，必轉換為矩陣或者四元素。

四元數與軸角轉化

（1）求一個點在這個四元數q下，旋轉後的新的座標：

給定兩個四元數p和q，分別代表旋轉P和Q，則乘積pq表示兩個旋轉的合成（即旋轉了Q之後再旋轉P），並不是用加法。四元數的乘法定義如下，利用簡單的分配律就是了：

q1 * q2 =
(w1*w2 - x1*x2 - y1*y2 - z1*z2) +
(w1*x2 + x1*w2 + y1*z2 - z1*y2) i +
(w1*y2 - x1*z2 + y1*w2 + z1*x2) j +
(w1*z2 + x1*y2 - y1*x2 + z1*w2) k

由於q = w + x i + y j + z k中可以分為純量w與向量x i + y j + z k，所以為了方便表示，將q表示為(S, V)，其中S表示純量w，V表示向量x i + y j + z k，所以四元數乘法又可以表示為：
q1 * q2 = (S1 + V1)*(S2 + V2) = S1*S2 - V1.V2 + V1XV2 + S1*V2 + S2*V1

四元素轉尤拉角

尤拉角轉四元素

四元素轉旋轉矩陣

R(q)=⎡⎣⎢1−2(y2+z2)2(xy+zw)2(xz−yw)2(xy−zw)1−2(x2+z2)2(yz+xw)2(xz+yw)2(yz−xw)1−2(x2+y2)⎤⎦⎥

1. Matrix4x4(  
2.         1.0f - 2.0f*y*y - 2.0f*z*z, 2.0f*x*y - 2.0f*z*w, 2.0f*x*z + 2.0f*y*w, 0.0f,  
3.         2.0f*x*y + 2.0f*z*w, 1.0f - 2.0f*x*x - 2.0f*z*z, 2.0f*y*z - 2.0f*x*w, 0.0f,  
4.         2.0f*x*z - 2.0f*y*w, 2.0f*y*z + 2.0f*x*w, 1.0f - 2.0f*x*x - 2.0f*y*y, 0.0f,  
5.         0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f  
6.         )  

尤拉角轉旋轉矩陣

Reference：

如何形象地理解四元數？ - 回答作者: Yang Eninala http://zhihu.com/question/23005815/answer/33971127 (想看更多？下載 @知乎 App：http://weibo.com/p/100404711598 )

http://blog.csdn.net/silangquan/article/details/39008903#comments