目錄

• 目錄
• 前文列表
• 伯努利分佈
• 二項分佈

前文列表

伯努利分佈

伯努利分佈（Bernoulli Distribution），是一種離散分佈，又稱為 “0-1 分佈” 或 “兩點分佈”。例如拋硬幣的正面或反面，物品有缺陷或沒缺陷，病人康復或未康復，此類滿足「只有兩種可能，試驗結果相互獨立且對立」的隨機變數通常稱為伯努利隨機變數。

對於伯努利隨機變數 X，如果使用 1 表示成功，其概率為 p(0<p<1)；使用 0 表示失敗，其概率為 q=1-p。則可以稱伯努利隨機變數 X 服從引數為 p 的伯努利分佈，其分佈律為：

對於伯努利分佈來說，其離散型隨機變數期望為：

E(x) = ∑x∗p(x) = 1∗p+0∗(1−p) = p

方差為：

D(x) = E(x^2)−(E^2)(x) = 12∗p−p2 = p(1−p)

二項分佈

二項分佈（Binomial Distribution）也是一種離散型概率分佈，又稱為「n 重伯努利分佈」。

首先看「n 重伯努利試驗」的定義：如果隨機變數序列 Xn(n=1, 2, …) 中的隨機變數均服從與引數為 p 的伯努利分佈，那麼隨機變數序列 Xn 就形成了引數為 p 的 n 重伯努利試驗。例如，假定重複拋擲一枚均勻硬幣 n 次，如果在第 i 次拋擲中出現正面，令 Xi=1；如果出現反面，則令 Xi=0。那麼，隨機變數 Xn(n=1, 2, …) 就形成了引數為 1/2 的 n 重伯努利試驗。

可見，n 重伯努利試驗需滿足下列條件：

• 每次試驗只有兩種結果，即 X=1，或 X=0
• 各次試驗中的事件互相獨立，且 X=1 和 X=0 的概率分別為 p(0<p<1) 和 q=1-p

n 重伯努利試驗的結果就是 n 重伯努利分佈，即二項分佈。反之，當 Xn(n=1) 時，二項分佈的結果服從於伯努利分佈。因為二項分佈實際上是進行了 n 次的伯努利分佈，所以二項分佈的離散型隨機變數期望為 E(x)=np，方差為 D(x)=np(1-p) 。

需要注意的是，滿足二項分佈的樣本空間有一個非常重要的性質，假設進行 n 次獨立試驗，滿足二項分佈（每次試驗成功的概率為 p，失敗的概率為 1−p），那麼成功的次數 X 就是一個引數為 n 和 p 的二項隨機變數，即滿足下述公式

P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

• X=k，試驗 n 次，成功的次數恰好有 k 次的隨機變數（事件）
• C(n, k)，表示從集合 n 中取出 k 個元素的組合數，結果為 n!/(k!*(n-k)!)

例如，小明參加雅思考試，每次考試的通過率 1/3，不通過率為 q=2/3。如果小明連續參加考試 4 次，那麼恰好有兩次通過的概率是多少？
解析：因為每次考試只有兩種結果，通過或不通過，符合條件 (1)；每次考試結果互相獨立，且概率不變，符合條件 (2)。滿足二項分佈樣本，代入公式求解得概率為：C(4, 2)*(1/2)^2*(2/3)^(4-2) ≈ 8/27

二項分佈概率直方圖：

圖形特性：

• 當 p=q 時，圖形是對稱的
• 當 p≠q 時，圖形呈偏態，p<q 與 p>q 的偏斜方向相反
• 當 (n+1)p 不為整數時，二項概率 P(X=k) 在 k=(n+1)*p 時達到最大值
• 當 (n+1)p 為整數時，二項概率 P(X=k) 在 k=(n+1)*p 和 k=(n+1)*p-1 時達到最大值

NOTE：當 n 很大時，即使 p≠q，二項分佈概率直方圖的偏態也會逐漸降低，最終成為正態分佈。也就是說，二項分佈的極限情形即為正態分佈，故當 n 很大時，二項分佈的概率可用正態分佈的概率作為近似值。那麼 n 需要多大才可謂之大呢?
一般規定，當 p<q 且 np≥5，或 p>q 且 nq≥5 時，這時的 n 就足夠大了，可以用正態分佈的概率作為近似值。則正態分佈引數 μ=np，σ^2=np(1-p) 。