【證明】關於項鍊問題中旋轉操作的置換群的迴圈節個數、長度的證明【Pólya】【同餘】
做POJ2154時，對於”置換的迴圈節的個數為gcd(i, n)"表示疑惑，但是看了很多blog，發現都沒有證明這個結論，於是這裡做個簡單的證明。
設一開始珠子的位置在p點，每次旋轉x格。
先證明迴圈節長度為n / gcd(x, n)。
假設這個珠子走了k次回到p點，那麼有
減去p，有
說明了kx是n的倍數，即
又顯然有kx是x的倍數
我們發現kx既是n的倍數，又是x的倍數。但是我們求的是迴圈節長度，即k需要最小，又因為x是常量，那麼我們當然取n和x的最小公倍數了
代換一下lcm
消去x，得到k
Q.E.D.
現證明迴圈節個數是gcd(x, n)
因為迴圈節的長度為n / gcd(x, n)，又一共有n個元素，且這n個元素對稱，那麼顯然迴圈節個數就是gcd(x, n)。
Q.E.D.
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