裴蜀定理：
對任何a,b∈Z和它們的最大公約數d，關於未知數x和y的線性不定方程（稱為裴蜀等式）：ax+by=c有整數解(x,y)當且僅當d∣c，可知有無窮多解。特別地，一定存在整數x,y，使ax+by=d成立。
推論：
a,b互質的充要條件是存在整數x,y使ax+by=1

對於(a,b∈Z)，ax+by=gcd(a,b)一定有整數解x,y的證明：
設d=gcd(a,b)，可得d∣a，d∣b，且d∣(ax+by)。
設s是a與b的線性組合集中最小的正元素，並且對於某個x,y∈Z，有s=ax+by，可知s∈Z。
設q=⌊a/s⌋，則有r=amods=a−qs=a−q(ax+by)=a

(1−qx)+b(−qy)，因此r也是a與b的一個線性組合，已知s是這個線性集合中的最小正整數，又0≤r<s，可得r=0，因此有s∣a，同理有s∣b，因此s是a與b的公約數，所以有d≥s。因為對於任意x,y∈Z，有d∣(ax+by)，而對於某個x,y∈Z，有s=ax+by，所以有d∣s。但d∣s且s>0，可得d≤s。綜合d≤s和d≥s，得d=s，故s=gcd(a,b)。我們已知s是a與b的線性組合集中的最小正元素，故ax+by=gcd(a,b)一定有整數解x,y，亦可知對於a,b∈Z，gcd(a,b)是ax+by(x,y∈Z)的最小正元素

對於(a,b∈Z)，ax+by=c有整數解的條件是g

cd(a,b)∣c的證明：
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