C++中位運算的使用方法
一：簡介
1 位邏輯運算子：
& （位 “與”） and^ （位 “異或”）
| （位 “或”） or
~ （位 “取反”）
2 移位運算子：
<<（左移）
>>（右移）
優先順序
二：位邏輯運算
& 運算 ———————–-2個都為1-》1 0&1 =0;0&0 =0;
1&0 =0;
1&1 =1;
00111
& =00100
11100
&運算通常用於二進位制取位操作，例如一個數 &1的結果就是取二進位制的最末位。
這可以用來判斷一個整數的奇偶，二進位制的最末位為0表示該數是偶數，最末位為1表示該數為奇數
—————————————————————–
| 運算—————————1個為1–》1
0|0=0;0|1=1;
1|0=1;
1|1=1;
00111
| =11111
11100
| 運算通常用於二進位制特定位上的無條件賦值，例如一個數|1的結果就是把二進位制最末位強行變為1
如果需要把二進位制最末位變成0，對這個數 |1之後再減一就可以了，其實際意義就是把這個數強行變成最近接的偶數
——————————————————————–
^ 運算—————————不同則為1，相同則為0 // 當且僅當兩個運算值中有一個為1但不同時為1時，返回值為1
0^1=1；
1^0=1；
1^1=0；
0^0=0；
00111
^ =11011
11100
^運算通常用於對二進位制的特定一位進行取反操作，^運算的逆運算是它本身，也就是說兩次異或同一個數最後結果不變，即（a^b)^b=a；
^運算可以用於簡單的加密，比如原始值int a = 19880516;金鑰 int key =1314520; 進行加密 int data=key^a = 20665500;解密 data^key == a；
^運算還可以實現兩個值的交換
先看加減法中交換實現
void swap(long int &a,long int &b)
{
a = a+b;
b = a-b;
a = a-b;
}
void swap(long int &a,long int &b)
{
a = a^b;
b = a^b;
a = a^b;
}
所以 ^運算可以理解成類似加法（+）記憶 ， 1+1 =0，1+0 =1，0+1 =1；0+0 =0；//因為機器碼是二進位制，1+1=2%2 =0，其實不然
—————————————————————————————————
~運算
~運算的定義把記憶體中的0和1全部取反，所以~運算時要格外小心，你需要注意整數型別有沒符號，如果~的物件是無符號整數（不能表示負數），那麼他的值就是它與它的上界限的之差，因為無符號型別的數是用
下面的兩個程式（僅語言不同）均返回65435。
var
a:word;
begin
a:=100;
a:=not a;
writenln(a);
end.
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
unsingned short a = 100;
a = ~a;
printf(“%d\n”,a);
return 0;
}
如果 ~的物件是有符號的整數，情況就不一樣了，詳見最後面整數型別的儲存
三：位移運算
<<運算a<<b 表示把a轉為二進位制後左移b位（在後面新增 b個0）。例如100的二進位制表示為1100100，100左移2位後（後面加2個零）：1100100<<2 =110010000 =400，可以看出，a<<b的值實際上就是a乘以2的b次方，因為在二進位制數後面新增一個0就相當該數乘以2，2個零即2的2次方 等於4。通常認為a<<1比a*2更快，因為前者是更底層一些的操作。因此程式中乘以2的操作儘量用左移一位來代替。
定義一些常量可能會用到<<運算。你可以方便的用1<<16 -1 來表示65535（unsingned int 最大值16位系統）。很多演算法和資料結構要求資料模組必須是2的冪，此時就可以用<<來定義MAX_N等常量。
>>運算
和<<相似，a>>b表示二進位制右移b位（去掉末b位），相當於a除以2的b次方（取整）。我們經常用>>1來代替 /2（div 2),比如二分查詢、堆的插入操作等等。想辦法用>>代替除法運算可以使程式的效率大大提高。最大公約數的二進位制演算法用除以2操作來代替慢的出奇的%（mod）運算，效率可以提高60%。
int a =100;
a/4 ==a>>2;
位移運算運用 例子
1.合併資料
縮短資料：int a =4; int b=2; 可以將資料 a,b 保存於一個變數 int c中,在此int 型別為32位
a=0x0000 0004; / /十六進位制
b=0x0000 0002;
int c = a<<16;//左移操作-將a資料向左移動16位=0x0004 0000
c |=b; // （|）操作，一個為1 則為1，所以高16位不變，低16位值為 b值，即c = 0x0004 0002;完成資料的合併
2.解析資料
上面c = 0x0004 0002;
讀取高位：int a1 = c>>16; / / 右移16位，消除低位資料，讀取高位資料 a1 = 0x0000 0004
讀取低位：int a2 = c&0xFFFF; //（&）操作，2個都為1 則為1，所以0xFFFF 即 0X0000 FFFF, 所以高位全為0，低位的 1不變，0還是0，a2=0x0000 0002,讀取低位成功
讀取低位2：int a2 = c<<16; 消除高位，低位存入高位，a2=0x0002 0000;
a2 = a2>>16;高位存入低位，消除低位; a2 = 0x0000 0002;
下面列舉一些常見的二進位制位的變換操作
| 去掉最後一位 | 101101->10110 | x>>1 |
| 在最後加一個0 | 101101->1011010 | x<<1 |
| 在最後加一個1 | 101101->1011011 | (x<<1)+1 |
| 把最後一位變成1 | 101100->101101 | x | 1 |
| 把最後一位變成0 | 101101->101100 | (x |1) - 1 |
| 最後一位取反 | 101101->101100 | x ^ 1 |
| 把右數第K位變成1 | 101001->101101,k=3 | x | (1<<(k-1)) |
| 把右數第K位變成0 | 101101->101101,k=3 | x & ~(1<<(k-1)) |
| 右數第k位取反 | 101001->101101,k=3 | x ^ (1<<(k-1)) |
| 取末三位 | 1101101->101 | x &7 |
| 取末k位 | 1101101->1101,k=5 | x & (1<<k-1) |
| 取右數第k位 | 1101101->1,k=4 | x >> (k-1)&1 |
| 把末k位變成1 | 101001->101111,k=4 | x|(1<<k-1) |
| 末k位取反 | 101001->100110,k=4 | x^(1<<k-1) |
| 把右邊連續的1變成0 | 100101111->100100000 | x&(x+1) |
| 把右起第一個0變成1 | 100101111->100111111 | x|(x+1) |
| 把右邊連續的0變成1 | 11011000->11011111 | x|(x-1) |
| 取右邊連續的1 | 100101111->1111 | (x^(x+1))>>1 |
| 去掉右起第一個1的左邊 | 100101000->1000 | x&(x^(x-1)) |
最後一個會在樹狀陣列中用到
整數型別的儲存
前面 所說的位運算都沒有涉及負數，都假設這些運算是在unsingned/word型別（只能表示正數的整型）上進行操作。
但計算機如何處理有正負符號的整型呢？這個設計到補碼，反碼知識點，請看下面
假設有一 int 型別的數，值為5，那麼，我們知道它在計算機中表示為：00000000 00000000 00000000 00000101
5轉換成二進位制是101，不過int型別的數佔用4位元組（32位），所以前面填了一堆0。
現在想知道，-5在計算機中如何表示？
在計算機中，負數以其正值的補碼形式表達。
什麼叫補碼呢？這得從原碼，反碼說起。
四：反碼，補碼
反碼和補碼的目的就是為了解決負數的問題 在計算機內，定點數有3種表示法：原碼、反碼和補碼所謂原碼就是前面所介紹的二進位制定點表示法，即最高位為符號位，“0”表示正，“1”表示負，其餘位表示數值的大小。
反碼錶示法規定：正數的反碼與其原碼相同；負數的反碼是對其原碼逐位取反，但符號位除外。
補碼錶示法規定：正數的補碼與其原碼相同；負數的補碼是在其反碼的末位加1。
有原碼就可以了，為什麼還需要反碼和補碼？
反碼是用來算補碼的，原碼和補碼都是用在CPU的基本運算裡的，比如資料型別是short：
計算5 - 2，並由於實際上CPU沒有實現減法電路（注：計算機的硬體結構中只有加法器，所以大部分的運算都必須最終轉換為加法，原碼沒有辦法做減法，而在我們使用的彙編、C等其他高階語言中使用的都是原碼，原碼轉換成補碼都是在計算機的最底層進行的）。原碼計算是 5＋（－2）
0101
＋1010
——-
1111
＝－7？顯然出錯
所以不管正數還是負數，都使用補碼來表示（正數原碼和補碼是一樣的）， 2的補碼是1110，然後用5補 + 2補
0101
+ 1110
——
0011
＝3，正確
《補碼的運算方法詳見此連結》
所以理論上（也僅僅是理論上）我們只要讓減數通過一個求反電路，再通過一個+1電路，然後通過加法電路就可以實現減法了。
所以補碼的設計目的是:
⑴使符號位能與有效值部分一起參加運算,從而簡化運算規則.
⑵使減法運算轉換為加法運算,進一步簡化計算機中運算器的線路設計
原碼：在數值前直接加一符號位的表示法。
例如： 符號位 數值位 [+7]原= 0 0000111 B [-7]原= 1 0000111 B 注意：a： 數0的原碼有兩種形式：
[+0]原=00000000B
[-0]原=10000000B
b： 8位二進位制原碼的表示範圍：-127～+127
反碼：正數：正數的反碼與原碼相同。
負數：負數的反碼，符號位為“1”，數值部分按位取反。
例如： 符號位 數值位
[+7]反= 0 0000111 B [-7]反= 1 1111000 B 注意：a：數0的反碼也有兩種形式，即 [+0]反=00000000B [- 0]反=11111111B b.：8位二進位制反碼的表示範圍：-127～+127
補碼：
1）模的概念：把一個計量單位稱之為模或模數。例如，時鐘是以12進位制進行計數迴圈的，即以12為模。在時鐘上，時針加上（正撥）12的整數位或減去（反撥）12的整數位，時針的位置不變。14點鐘在捨去模12後，成為（下午）2點鐘（14=14-12=2）。從0點出發逆時針撥10格即減去10小時，也可看成從0點出發順時針撥2格（加 上2時），即2點（0-10=-10=-10+12=2）。因此，在模12的前提下，-10可對映為+2。由此可見，對於一個模數為12的迴圈系統來說，加2和減10的效果是一樣的； 因此，在以12為模的系統中，凡是減10的運算都可以用加2來代替，這就把減法問題轉化成加法問題了（注：計算機的硬體結構中只有加法器，所以大部分的運算都必 須最終轉換為加法）。10和2對模12而言互為補數。
同理，計算機的運算部件與暫存器都有一定字長的限制（假設字長為8），因此它的運算也是一種模運算。當計數器計滿8位也就是256個數後會產生溢位，又從頭開始 計數。產生溢位的量就是計數器的模，顯然，8位二進位制數，它的模數為8=256。在計算中，兩個互補的數稱為“補碼”。2）補碼的表示：
正數：正數的補碼和原碼相同。 負數：負數的補碼則是符號位為“1”。並且，這個“1”既是符號位，也是數值位。數值部分按位取反後再在末位（最低位）加1。也就是“反碼+1”。 例如： 符號位 數值位 [+7]補= 0 0000111 B[-7]補= 1 1111001 B
補碼在微型機中是一種重要的編碼形式，請注意：a： 採用補碼後，可以方便地將減法運算轉化成加法運算，運算過程得到簡化。正數的補碼即是它所表示的數的真值，而負數的補碼的數值部份卻不是它所表示的數的真 值。採用補碼進行運算，所得結果仍為補碼。
b.：與原碼、反碼不同，數值0的補碼只有一個，即 [0]補=00000000B。
c.：若字長為8位，則補碼所表示的範圍為-128～+127；進行補碼運算時，應注意所得結果不應超過補碼所能表示數的範圍。
原始碼、反碼和補碼之間的轉化
由於正數的原始碼、反碼、補碼錶示方法相同，不需轉換。
在此，僅以負數情況分析。
1）已知原碼，求補碼
例：已知某數X的原始碼為10110100B，試求X的補碼和反碼。
解：由【X】原=10110100B看出，X為負數。求其反碼時，符號位不變，數值部分按位求反；求其補碼時，再在其反碼的末位加1。
10110100 原碼
11001011反碼，符號位不變，數值取反
1+1
11001100 補碼
故：【X】補 = 11001100B，【X】反 = 11001011B。
2）已知補碼，求原碼。
分析：按照求負數補碼的你過程，數值部分應是最低位減1，然後取反。但是對二進位制數來說，先減1後取反和先取反後加1得到的結果是一樣的，故仍可採用取反加1 的方法。
例：已知某數X的補碼1110110B，試求其原碼。
解：由【X】補 = 11101110B知，X為負數。
採用逆推法
11101110 補碼
11101101反碼（符號位不變，數值取反加1）
10010010原碼（符號位不變，數值取反）
演算法2：
設原始碼 = A；可見A為負數
設反碼 = B；
因為補碼 = 反碼+1；所以
B +1 = 11101110；
B = 11101110 - 1
= 11101101;
A =B取反（符號位不變） = 10010010；
有符號數運算時的溢位問題，看下下面兩個題目
兩個數相加怎麼變成了負數？？？
1） （+72）+（+98）=？
0 1 0 0 1 0 0 0 B +72+
0 1 1 0 0 0 1 0 B +98
1 0 1 0 1 0 1 0 B -86 兩負數相加怎麼會得出正數？？？ 2）（-83）+（-80）=？ 1 0 1 0 1 1 0 1 B -83+
1 0 1 1 0 0 0 0 B -80
0 1 0 1 1 1 0 1 B +93 思考：這兩個題目，按照正常的法則來運算，但結果顯然不正確，這是怎麼回事呢？ 答案：這是因為發生了溢位。 如果計算機的字長為n位，n位二進位制數的最高位為符號位，其餘n-1位為數值位，採用補碼錶示法時，可表示的數X的範圍是 -2的n-1次冪≤X≤2的n-1次冪-1 當n=8時，可表示的有符號數的範圍為-128～+127。兩個有符號數進行加法運算時，如果運算結果超出可表示的有符號數的範圍時，就會發生溢位，使計算結果出錯。很顯然，溢位只能出現在兩個同符號數相加或兩個異符號數相減的情況下。 對於加法運算，如果次高位（數值部分最高位）形成進位加入最高位，而最高位（符號位）相加（包括次高位的進位）卻沒有進位輸出時，或者反過來，次高位沒有進位加入最高位，但最高位卻有進位輸出時，都將發生溢位。因為這兩種情況是：兩個正數相加，結果超出了範圍，形式上變成了負數；兩負數相加，結果超出了範圍，形式上變成了正數。 而對於減法運算，當次高位不需從最高位借位，但最高位卻需借位（正數減負數，差超出範圍），或者反過來，次高位需從最高位借位，但最高位不需借位（負數減正數，差超出範圍），也會出現溢位。 在計算機中，資料是以補碼的形式儲存的，所以補碼在c語言的教學中有比較重要的地位，而講解補碼必須涉及到原碼、反碼。本部分演示作何一個整數的原碼、反碼、補碼。過程與結果顯示在列表框中，結果比較少，不必自動清除，而過程是相同的，沒有必要清除。故需設清除各部分及清除全部的按鈕。測試時注意最大、最小正負數。使用者使用時注意講解不會溢位：當有一個數的反碼的全部位是1才會溢位，那麼它的原碼是10000…，它不是負數，故不會溢位。 在n位的機器數中，最高位為符號位，該位為零表示為正，為一表示為負；其餘n-1位為數值位，各位的值可為零或一。當真值為正時，原碼、反碼、補碼數值位完全相同；當真值為負時，原碼的數值位保持原樣，反碼的數值位是原碼數值位的各位取反，補碼則是反碼的最低位加一。注意符號位不變。總結
提示資訊不要太少，可“某某數的反碼是某某”，而不是隻顯示數值。1.原碼的求法:
(1)對於正數,轉化為二進位制數,在最前面新增一符號位(這是規定的),用1表示負數,0表示正數.如:0000 0000是一個位元組,其中0為符號位,表示是正數,其它七位表示二進位制的值.其實,機器不管這些,什麼符號位還是值,機器統統看作是值來計算. 正數的原碼、反碼、補碼是同一個數!
(2)對於負數,轉化為二進位制數,前面符號位為1.表示是負數. 計算原碼只要在轉化的二進位制數前面加上相應的符號位就行了. 2.反碼的求法:對於負數,將原碼各位取反,符號位不變. 3.補碼的求法:對於負數,將反碼加上二進位制的1即可,也就是反碼在最後一位上加上1就是補碼了.