線代最近好多地方都要用到，然而之前學的太渣啦，這次復yu習xi一遍記一下~
本文應配合原書食用，只是作為通讀全書之後方便查閱的參考，而非用作單獨學習線代

第1章 線性代數中的線性方程組

1. 線性方程組等價⇔$\iff$解集相同⇔$\iff$增廣矩陣行等價
2. 線性方程組的解：null/one/infinite
3. 線性方程組相容：有解（one/infinite）
4. 行初等變換：
   
   • 倍加：加上另一行的倍數
   • 對換：兩行互換
   • 倍乘：一行各元素乘一個標量
5. 行初等變換是可逆的
6. （行）階梯形矩陣（縮寫為REF）
   
   • 每一非零行在每一零行之上
   • 下方的行的先導元素在右方
   • 推論：先導元素（一行的最左非零元素）所在列的下面全是零
7. 簡化（行）階梯形
   （縮寫為RREF）
   
   • 先導元素都是1
   • 先導元素是所在列唯一的非零元素
8. 簡化階梯形是唯一的
9. 主元位置：階梯形中先導元素的位置；主元列*：含主元位置的列
10. 主元列對應基本變數，非主元列對應自由變數
11. 方程組通解的形式（舉例說明）：
    ⎧⎩⎨⎪⎪x1=5x3+1x2=−x3+4x3is free$$\{\begin{array}{l}{x}_1=5x_3+1\\ x_2=-x_3+4\\ x_3\text{is free}\end{array}$$
12. 線性方程組相容⇔$\iff$增廣矩陣最右列不是主元列（沒有0=b$0=b$情況出現，其中b$b$為非零常數）
13. 線性組合：c1v1→+c2v2→⋯+cnvn→$c_1\overrightarrow{v_1}+c_2\overrightarrow{v_2}\cdots +c_n\overrightarrow{v_n}$
14. 向量方程x1a1→+x2a2→+⋯+xnan→=b⃗ $x_1\overrightarrow{a_1}+x_2\overrightarrow{a_2}+\cdots +x_n\stackrel{}{a_{}}$
    n→=b→與增廣矩陣[a1→a2→⋯an→b⃗ ]$[\overrightarrow{a_1}\overrightarrow{a_2}\cdots \overrightarrow{a_n}\overrightarrow{b}]$解集相同
15. Span{v⃗ 1,v⃗ 2,⋯,v⃗ p}$Span\{{\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2,\cdots ,{\overrightarrow{v}}_p\}$為這些向量生成的子集，即它們線性組合產生的向量的集合
16. Ax⃗ $A\overrightarrow{x}$可以理解為A$A$中各列以x⃗ $\overrightarrow{x}$中對應分量為權重的線性組合
17. Ax⃗ =b⃗ $A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{b}$有解⇔$\iff$ b⃗ $\overrightarrow{b}$中各列是A$A$中各列的線性組合
18. 下列命題等價：
    
    • Ax⃗ =b⃗ $A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{b}$對Rm${\mathbb{R}}^m$中的每個b⃗ $\overrightarrow{b}$都有解
    • Rm${\mathbb{R}}^m$中的每個b⃗ $\overrightarrow{b}$都是A$A$的列的線性組合
    • A$A$的各列生成Rm${\mathbb{R}}^m$