題目描述

傲嬌少女幽香是一個很萌很萌的妹子，而且她非常非常地有愛心，很喜歡為幻想鄉的人們做一些自己力所能及的事情來幫助他們。 這不，幻想鄉突然發生了地震，所有的道路都崩塌了。現在的首要任務是儘快讓幻想鄉的交通體系重新建立起來。

幻想鄉一共有n個地方，那麼最快的方法當然是修復n-1條道路將這n個地方都連線起來。 幻想鄉這n個地方本來是連通的，一共有m條邊。現在這m條邊由於地震的關係，全部都毀壞掉了。每條邊都有一個修復它需要花費的時間，第i條邊所需要的時間為ei。地震發生以後，由於幽香是一位人生經驗豐富，見得多了的長者，她根據以前的經驗，知道每次地震以後，每個ei會是一個0到1之間均勻分佈的隨機實數。並且所有ei都是完全獨立的。

現在幽香要出發去幫忙修復道路了，她可以使用一個神奇的大魔法，能夠選擇需要的那n-1條邊，同時開始修復，那麼修復完成的時間就是這n-1條邊的ei的最大值。當然幽香會先使用一個更加神奇的大魔法來觀察出每條邊ei的值，然後再選擇完成時間最小的方案。 幽香在走之前，她想知道修復完成的時間的期望是多少呢？

題解

ans=Σp(i)*v(i) 1<=i<=m

我們列舉最後的最小生成樹上的最大邊是rank幾，p(i)代表為ranki的概率，v(i)表示它的期望長度，然後出題人告訴我們它等於i/(m+1)。

然後式子變成了

ans=∑p(i)*i/(m+1)  (1<=i<=m)

ans*(m+1)=∑p(i)*i    (1<=i<=m)

考慮右邊的東西有什麼意義，每一個i的概率都會產生i次貢獻，我們可以把它看做是對所有小於等於i的位置產生了一次貢獻，這樣剛好i次，於是式子變成了

ans*(m+1)=∑L(i) (1<=i<=m)   L(i)表示最小生成樹上的最大邊大於等於i的概率。

然而這玩意還是不好算。

考慮補集轉化

ans*(m+1)=∑B(i-1) (1<=i<=m) B(i)表示用rank前i-1條邊無法構成生成樹的概率。

然後這東西就可以dp了。

方法和bzoj那道串珠子很像，就是設dp[i][s]

再令設一個g[i][s]表示s集合用i條邊可以使s聯通的方案數。

f[i][s]+g[i][s]=C(sum_edge(s),i)

這個比較顯然，我們求f時可以列舉子集

f[i][s]=∑g[k][s']*C(sum_edge(s^s'),j-k)

用這種方法求出f之後就可以用上面的方法求出g來了。

然後我們的i是從邊集中任意選出i中，所以最後的dp值要除以C(sum_edge,i)。

程式碼

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define M 52
#define N 11
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m,a[N][N],lo[1<<N],ed[1<<N];
ll f[M][1<<N],g[M][1<<N],C[M][M];
double ans;
inline int rd(){
    int x=0;char c=getchar();bool f=0;
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
    return f?-x:x;
}
int main(){
    n=rd();m=rd();int x,y,ma=(1<<n)-1;
    for(int i=1;i<=m;++i){
        x=rd();y=rd();a[x][y]=a[y][x]=1;
    }
    for(int i=1;i<=ma;i<<=1)lo[i]=lo[i>>1]+1; 
    C[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=m;++i){
      C[i][0]=1;
      for(int j=1;j<=i;++j)C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];
    }
    for(int s=0;s<=ma;++s){
        int x=lo[s&-s];ed[s]=ed[s-(s&-s)];
        for(int j=1;j<=n;++j)if(a[x][j]&&(s&(1<<j-1)))ed[s]++;
        for(int j=0;j<=ed[s];++j){
           for(int S=s&(s-1);S;S=s&(S-1))if(S&(1<<x-1))
             for(int k=0;k<=j;++k)
               if(k<=ed[S]&&j-k<=ed[s^S])f[j][s]+=g[k][S]*C[ed[s^S]][j-k];
           g[j][s]=C[ed[s]][j]-f[j][s];
        }
    }
    for(int i=0;i<=m;++i)ans+=(double)f[i][ma]/C[m][i];ans=ans/(m+1);
    printf("%.6lf",ans);
    return 0;
}