如果要求根號2，比較快的方法有：1）二分法；2）牛頓迭代逼近法

二分法不多說了，很簡單。下面介紹牛頓迭代逼近法。

原理：X(n+1) = ( X(n) + P/X(n) ) / 2      （P為待開根的數字）

【source】：http://www.nowamagic.net/librarys/veda/detail/2268

牛頓迭代法（Newton's method）又稱為牛頓-拉夫遜方法（Newton-Raphson method），它是牛頓在17世紀提出的一種在實數域和複數域上近似求解方程的方法。多數方程不存在求根公式，因此求精確根非常困難，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要。方法使用函式f(x)的泰勒級數的前面幾項來尋找方程f(x) = 0的根。牛頓迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大優點是在方程f(x) = 0的單根附近具有平方收斂，而且該法還可以用來求方程的重根、復根。另外該方法廣泛用於計算機程式設計中。

設r是f(x) = 0的根，選取x0作為r初始近似值，過點（x0,f(x0)）做曲線y = f(x)的切線L，L的方程為y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L與x軸交點的橫座標 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，稱x1為r的一次近似值。

過點（x1,f(x1)）做曲線y = f(x)的切線，並求該切線與x軸交點的橫座標 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，稱x2為r的二次近似值。重複以上過程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，稱為r的n+1次近似值，上式稱為牛頓迭代公式。

根據牛頓迭代的原理，可以得到以下的迭代公式：X(n+1)=[X(n)+p/Xn]/2

一般性的程式設計方法如下：

double sqr(double n) { 
    double k=1.0; 
    while(abs(k*k-n)>1e-9) { 
        k=(k+n/k)/2; 
    } 
    return k; 
}

例如，2的平方根：

• x(0) = 1
• x(1) = (1/2)(1+2/1) = 3/2 = 1.5
• x(2) = (1/2)[3/2+2/(3/2)] = 17/12 = 1.41666667
• x(3) = (1/2)[17/12 + 2/(17/12)] = 577/408 = 1.41421568…

就這樣，反覆代入上式計算，得到的值越來越精確。

或者這麼解釋：

1. 對x的平方根的值一個猜想y。
2. 通過執行一個簡單的操作去得到一個更好的猜測：只需要求出y和x/y的平均值（它更接近實際的平方根值）。

例如，可以用這樣方式去計算2的平方根。

繼續這一計算過程，我們就能得到對2的平方根的越來越好的近似值。

下面用C語言實現一遍：

#include "stdio.h"
#include "math.h"

int main(void)
{
    double n,y=1.0;

    printf("請輸入一個需要求其平方根的數：");
    scanf("%lf",&n);

    // 反覆代入 x(k+1) = 0.5[x(k)+n/x(k)]
    while(fabs((1.0/2.0*(y+n/y))-y)>=0.00001)
    {
        y=1.0/2.0*(y+n/y);
        printf( "y=%lf\n", y );
    }
    printf("平方根為%f\n",y);
    return 0;
}

程式執行結果：

請輸入一個需要求其平方根的數：2
y=1.500000
y=1.416667
y=1.414216
平方根為1.414216

請輸入一個需要求其平方根的數：3
y=2.000000
y=1.750000
y=1.732143
y=1.732051
平方根為1.732051

float Q_rsqrt( float number )
{
	long i;
	float x2, y;
	const float threehalfs = 1.5F;
	x2 = number * 0.5F;
	y  = number;
	i  = * ( long * ) &y;        
	i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); 
	y  = * ( float * ) &i;
	y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); 
	// y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); 
	#ifndef Q3_VM
	#ifdef __linux__
	assert( !isnan(y) ); 
	#endif
	#endif
	return y;
}