計幾演算法補充

Tags：高階演算法

Pick定理

內容

定點都是整點的多邊形，內部整點數為\(innod\)，邊界整點數\(ednod\),\(S=innod+\frac{ednod}{2}-1\)

證明

把每個整點近似地看成一個圓，那麼多邊形內部的整點所代表的圓全部被算入
多邊形邊界上的圓被算了一半
頂點上被算了\(\sum 半圓-外角\)，外角和360度，於是\(-1\)

應用

POJ2954 求格點三角形內部點數

圓的反演變換

內容

反演中心為\(O\)，反演半徑為\(R\)，若經過\(O\)的直線經過\(P,P'\)，且\(OP*OP'=R^2\)

，則稱\(P\)、\(P'\)關於\(O\)互為反演

性質

• 1.一根過\(O\)的直線的反形是本身
• 2.一根不過\(O\)的直線的反形是一個過\(O\)的圓
• 3.一個過\(O\)的圓的反形是一根不過\(O\)的直線
• 4.一個不過\(O\)的圓的反形是一個和該圓關於\(O\)位似的圓

下面這張圖可以粗略解釋一下有這麼個東西：兩種不同顏色的三角形相似，可以證出\(CD\)關於\(E\)的反形為圓

• 5.反演不改變相切關係

應用

1、求平面內與原點四點共圓的三元組個數

Problem Provider：自為風月馬前卒
對所有點反演後求三點共線的三元組即可

2、求經過P點並與兩給定相離圓外切的圓

參考部落格：ACdreamer反演教程、水鬱圖文、cdsszjj題解、教你尺規畫圖
Problem Provider：HDU4773 Problem of Apollonius
先將兩相離圓關於P反演，然後做反形的公切線，反演回來成為公切圓

TBC...