對於某些資料集, 並不能找到一個超平面把它們分開, 也就是說不能找到一組w⃗ ,b, 滿足yi(w⃗ ⋅x⃗ i+b)≥1, 解決辦法就是引入一個鬆弛變數ξi, 讓所有樣本點都滿足yi(w⃗ ⋅x⃗ i+b)≥1−ξi, 這樣得到一個新的約束條件, 可以注意到ξi與1的關係,等於1的時候樣本剛好落在分隔超平面上,大於1的時候符號反轉, 說明被分錯.形象的解釋就是把某些樣本點挪一下, 挪成線性可分的, 並且要使得挪的距離儘量小(挪太遠就誤分了), 同時間隔儘量大, 這樣支援向量機的學習問題就變成了

minw⃗ ,b,ξ⃗ 12||w⃗ ||2+C∑iξi
s.t.yi(w⃗ ⋅x⃗ i+

b)≥1−ξi
ξi≥0
C是一個關聯絡數, 若C為無窮大, 優化問題則要求ξi=0, 迫使樣本均滿足約束條件.
還有另外一種解釋, ξi是損失函式(比如合頁損失函式), 若樣本沒有落在間隔帶正確的那一邊, 則ξi大於0, 學習問題是讓總損失儘可能小, 並且加了L2正則項(||w⃗ ||2)

和硬間隔類似, 利用拉格朗日乘子法可以得到對偶問題, 拉格朗日函式為

L(w⃗ ,b,ξ⃗ ,α⃗ ,μ⃗ )=12||w⃗ +C∑iξi+∑iαi(yi(w⃗ ⋅x⃗ i+b)−1+ξi)−∑iμiξi
進行求導, 代入等操作以後可得對偶問題
minα⃗ 12∑i∑jαiαjyiyj(x⃗ i

⋅x⃗ j)−∑iαi
s.t.∑iαiyi=0,C≥αi≥0
求得最優解α∗→之後
w∗=∑iα∗iyixi,
選擇合適的α∗j
b∗=

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