首先給出Lucas（盧卡斯）定理：

    有非負整數A、B，和素數p，A、B寫成p進製為：A=a[n]a[n-1]...a[0]，B=b[n]b[n-1]...b[0]。

則組合數C(A,B)與C(a[n],b[n])×C(a[n-1],b[n-1])×...×C(a[0],b[0]) mod p同餘。

即：Lucas(n,m,p)=C(n%p,m%p)×Lucas(n/p,m/p,p) ，特別的，Lucas（x，0，p）=1。

    其實說白了，Lucas定理就是求組合數C（n，m）mod p（p是素數）的值，即(（ n! /(n-m)!）/m! )mod p，而我們

又知道(a/b)mod p=a*b^(p-2)mod p（這裡用到了一點逆元和費馬小定理的知識），這樣我們就可以在計算階乘的過程中對p取模，不會造成溢位。（需要注意的是Lucas定理處理的p的範圍大致為10^5數量級）

看下面一道題：HDU3037

題目大意：m個種子要放在n顆樹上，問有多少種方法，結果對素數p取模。

分析：m個種子可以分成兩部分：放在樹上的和不放在樹上的，我們可以假想出第n+1顆樹，認為那些沒放在樹上的種子放在這顆假想樹上，這樣，問題就變為了m個種子放在n顆樹上有多少種方案數了。等價於方程X1+X2+...+Xn+1=m有多少組非負整數解，即(X1+1)+(X2+1)+...+(Xn+1+1)=m+n+1有多少組正整數解。擋板原理：（m+n+1）個1，分成n+1部分的方案數==>C（n+m,n）。到這兒就很明顯了，果斷Lucas。

實現程式碼如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long llg;
const int N =150000;
llg n, m, p, fac[N];
void init()
{
    int i;
    fac[0] =1;
    for(i =1; i <= p; i++)
        fac[i] = fac[i-1]*i % p;
}
llg quick_mod(llg a, llg b)
{
    llg tmp = a % p, ans =1;
    while(b)
    {
        if(b &1)  ans = ans * tmp % p;
        tmp = tmp*tmp % p;
        b >>=1;
    }
    return  ans;
}
llg C(llg n, llg m)
{
    if(m > n)  return 0;
    return  fac[n]*quick_mod(fac[m]*fac[n-m], p-2) % p;
}
llg Lucas(llg n, llg m)
{
    if(m ==0)  return 1;
    else return  (C(n%p, m%p)*Lucas(n/p, m/p))%p;
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        scanf("%I64d%I64d%I64d", &n, &m, &p);
        init();
        printf("%I64d\n", Lucas(n+m, m));
    }
    return 0;
}
 

對於p比較大的情況，不能對階乘預先處理，需要單獨處理。

題目大意：求C（n，m）mod p。n,p是10^9數量級的。

實現程式碼如下：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;
typedef long long LL;

LL n,m,p;

LL quick_mod(LL a, LL b)
{
    LL ans = 1;
    a %= p;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
        {
            ans = ans * a % p;
            b--;
        }
        b >>= 1;
        a = a * a % p;
    }
    return ans;
}

LL C(LL n, LL m)
{
    if(m > n) return 0;
    LL ans = 1;
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        LL a = (n + i - m) % p;
        LL b = i % p;
        ans = ans * (a * quick_mod(b, p-2) % p) % p;
    }
    return ans;
}

LL Lucas(LL n, LL m)
{
    if(m == 0) return 1;
    return C(n % p, m % p) * Lucas(n / p, m / p) % p;
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%I64d%I64d%I64d", &n, &m, &p);
        printf("%I64d\n", Lucas(n,m));
    }
    return 0;
}