線性同餘方程組的形式

實際上一元一次線性同餘方程組，形式如下：

⎧⎩⎨x≡r0(modm0)x≡r1(modm1)⋯$$\{\begin{array}{l}x\equiv r_0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_0)\\ x\equiv r_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1)\\ \cdots \end{array}$$
包含有具體數字的線性同餘方程組問題最早見於《孫子算經》（成書於約南北朝時期，因此與《孫子兵法》的孫子應該不是同一個孫子），該書也給出了該具體問題的解法。因此求解線性同餘方程組有關的定理又稱作孫子定理。但實際上《孫子算經》並未給出證明及一般性解法。最早的系統性論述應該是南宋時期秦九韶在《算術九章》中提出的“大衍求一術”。因此最後有關該問題的理論被稱作中國剩餘定理。

中國剩餘定理

如果m0,m1,⋯$m_0,m_1,\cdots$兩兩互質，則方程有唯一解，在模

∏imi$\prod _i{m}_i$的意義下。解法如下：
令M=∏imi$M=\prod _i{m}_i$，且Mi=M/mi$M_i=M/m_i$
對每一個Mi$M_i$求出在模mi$m_i$意義下的逆元，記作xi$x_i$
即滿足Mi⋅xi≡1(modmi)$M_i\cdot x_i\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$
則原方程組的解為x=∏iri⋅xi⋅MimodM$x=\prod _i{r}_i\cdot x_i\cdot M_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{M}$

線性同餘方程組的一般解法

使用中國剩餘定理理論上可以很方便的解出模數兩兩互質的方程組。對於不互質的情況可以使用下面的一般解法。

單獨的線性同餘方程求解

考慮單獨的一個線性同餘方程，已知a,b,m$a,b,m$，求x$x$滿足如下方程：

ax≡b(modm)$$ax\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$$
原方程等價於：

ax+my=b$$ax+my=b$$
根據裴蜀定理，上述方程有解的充要條件是b$b$是gcd(a,m)$gcd(a,m)$的整數倍。利用擴充套件的擴充套件的歐幾里德演算法可以很容易求得x0$x_0$使得：
ax0+my0=gcd(a,m)$$a{x}_0+m{y}_0=gcd(a,m)$$
於是很容易得到x$x$的一個特解為：
x=x0⋅bgcd$$x=x_0\cdot \frac{b}{gcd}$$
顯然x$x$有無窮多解，如果考慮在模m$m$的意義下，x$x$也有gcd$gcd$個不同的解，且成等差數列，公差為m/gcd$m/gcd$。因此很容易求得最小正整數解為：
x=x0⋅bgcdmodmgcd$$x=x_0\cdot \frac{b}{gcd}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}}$$
考慮方程
9x≡6(

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