第五集　　向量空間
我們可以對向量進行所謂“線性運算”，即通過加和（v+w）與數乘運算（3v）得到向量的線性組合。向量空間對線性運算封閉，即空間內向量進行線性運算得到的向量仍在空間之內。
包含於向量空間之內的一個向量空間稱為原向量空間的一個子空間。
R2 中不穿過原點的直線就不是向量空間。子空間必須包含零向量，原因就是數乘0 的到的零向量必須處於子空間中。
R2 的子空間包括：
　　• R2 空間本身
　　• 過原點的一條直線（這是R2空間中的一條直線，與R1 空間有區別）
　　• 原點 僅包含0 向量
R3 的子空間包括：
　　• R3 空間本身 3 維
　　• 過原點的一個平面 2 維
　　• 過原點的一條直線 1 維
　　• 原點 僅包含0 向量

第六集　　列空間和零空間　　
列空間
矩陣A 的列空間C(A)是其列向量的所有線性組合所構成的空間。
求解Ax=b 的問題，對於給定的矩陣A，對於任意的b 都能得到解麼？

矩陣A 列向量的線性組合無法充滿R4，因此如果b不能被表示為A 列向量的線性組合時，方程是無解的。只有當b 在矩陣A 列空間C(A)裡時，x 才有解。
而且，由於列向量不是線性無關的（第三個列向量為前兩個列向量之和），所以儘管有3 個列向量，但是隻有2 個對張成向量空間有貢獻。矩陣A 的列空間為R4 內的一個二維子空間。

零空間
矩陣A 的零空間N(A)是指滿足Ax=0 的所有解的集合。x 為含有3 個分量的向量，故矩陣A 的零空間是R

3 的子空間。對於m*n 矩陣，列空間為Rm的子空間，零空間為Rn空間的子空間。
若方程變為

則其解集不能構成一個子空間。零向量並不在這個集合內。

對於列空間，它是由列向量進行線性組合張成的空間；而零空間是從方程組出發，通過讓x 滿足特定條件而得到的子空間。

第七集　　求解Ax=0：主變數，特解
計算零空間，矩陣A 的零空間即滿足Ax=0 的所有x構成的向量空間。

對於矩陣A 進行“行操作”並不會改變Ax=b 的解，因此也不會改變零空間（但是會改變列空間）。消元得到

矩陣U 為梯形矩陣。其第三行變為零，是因為第三行的行向量本身就是第一行和第二行行向量的線性組合。矩陣的秩r就是矩陣的主元的個數，表示只有r個方程起作用。
當我們將係數矩陣變換為上三角陣U 時，就可以用回代求得方程Ux=0 的解。
本例中，包含主元的矩陣第1 列和第3 列為主元列，而不包含主元的第2 列和第4列為自由列。對自由變數x

2和x4我們可以進行賦值。例如令x2=1，而x4=0，可得一解，。取自由變數中x2=0 而x4=1，則可得到另一解，。
矩陣A 的零空間就是這些“特解”向量的線性組合所構成的向量空間，x=C1[−2,1,0,0]T+C2[2,0,−2,1]T。自由列的數目等於n-r，這是特解的數目和零空間的維數。

自由列可以表示為其左側所有主元列的線性組合。

觀察它的第五列自由列，其左側有兩個主元列，這兩個主元列線性無關，第五列顯然可以寫成前兩個主元列的線性組合。求Ux=0 的解，如果令其他所有自由列的x 分量都為0，而x5=1，則方程變為：

相當於求第五列如何用前兩個主元列進行線性組合，所得解xT=[x1,0,x3,0,1,0,0,0]即為原方程的特解之一。可知，四個自由變數分別取1 會得到零空間的四個特解。如果把自由變數都賦值為0 會求得0向量。

行最簡階梯矩陣
行最簡階梯矩陣形式R，其中主元為1，而主元列除主元外皆為0。

通過“列交換”，可以將矩陣R 中的主元列集中在左側，從而在左上角形成這個單位陣。如果矩陣A 中的某些行是線性相關的，則在矩陣R 的下半部分就會出現一些完全為0的行向量。F即自由列消元后組成的部分。

原方程Ax=0 變為Ux=0，又變為求解Rx=0。

回代得xpivot=−Fxfree，如果令xfree=I，則xpivot=−F。所以零空間矩陣N最終形式為
，解x=CN（常數C）。
此時要注意如果在變換出R 左上角的單位陣的過程中採用了列交換，則最後的解要完成逆變換。在本例中，R進行了第二列和第三列交換才形成[IF]，所以零空間N=[−FI],需要進行第二行和第三行交換，才能得到解⎡⎣⎢⎢⎢−210020−21⎤⎦⎥⎥⎥。

第八集　　求解Ax=b：可解性和解的結構
可解的條件
取A為上一講中的矩陣，則

矩陣A 的第三行為第一行和第二行的加和，因此Ax=b 中b 的第3 個分量也要等於其第1 和第2 個分量的和，即只有當b 處於矩陣的列空間C(A)之中時，方程才有解。
對增廣矩陣進行行消元，如下圖所示。如果Ax=b 有解，則b3-b1-b2=0。

在本例中我們令
特解：求Ax=b 特解的方法是將自由變數均賦值為0，求解其主變數。令x2=x4=0得

對於Ax=b的求解轉變為Ux=c。此時四個主元列的線性組合可以組成任何R4 中的向量，我們將x中的自由變數賦值為0 就可以去掉自由列列向量的干擾，求得方程的特解xp。

與零空間進行線性組合
Ax=b 的通解為xcomplete=xp+xn，其中xn為矩陣零空間中的一般向量。將Axp=b 和Axn=0 相加可得A(xp+