可並堆

可並堆顧名思義就是可以合併的堆。

這裡不講二項堆和斐波那契堆，只講左偏樹。

左偏樹

左偏樹顧名思義就是向左偏的樹。

給每個點定義一個\(dist\)，滿足下面三個條件：

1、空結點的\(dist\)等於\(-1\)

2、每個結點的左兒子的\(dist\)都大於右兒子的\(dist\)

3、每個結點的\(dist\)都等於右兒子的\(dist+1\)

根據上面這些性質，我們可以推出左偏樹中根結點的\(dist\)最大不超過\(logsize\)。

合併

左偏樹合併非常簡單，假設我要合併\(a,b\)兩顆樹並且\(val_a<val_b\)（為了滿足小根堆性質，不滿足就交換\(a,b\)

如果\(a\)或\(b\)為空返回另一個結點

否則合併\(a\)的右兒子和\(b\)，如果這個時候右兒子的\(dist\)大於左兒子的\(dist\)就交換\(a\)的左右兒子，更新\(a\)的\(dist\)然後返回\(a\)。

由於每一層遞迴的\(dist_a+dist_b\)都會比上一層小\(1\)，最小可以到\(-1\)，所以時間複雜度是\(O(logsize_a+logsize_b)\)的。

模板題傳送門：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3377

時間複雜度：\(O(mlogn)\)

空間複雜度：\(O(n)\)

程式碼如下：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn=1e5+5;

int n,m;
int son[maxn][2];
int v[maxn],fa[maxn],dist[maxn];

int read() {
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
    for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())x=x*10+ch-'0';
    return x*f;
}

int find(int x) {
    while(fa[x])x=fa[x];
    return x;//由於樹型結構會改變所以不敢路徑壓縮
}

int merge(int a,int b) {
    if(!a||!b)return a+b;
    if(v[a]>v[b])swap(a,b);
    son[a][1]=merge(son[a][1],b);
    fa[son[a][1]]=a;
    if(dist[son[a][1]]>dist[son[a][0]])
        swap(son[a][1],son[a][0]);
    dist[a]=dist[son[a][1]]+1;
    return a;
}

void pop(int u) {
    printf("%d\n",v[u]);v[u]=-1;
    fa[son[u][0]]=fa[son[u][1]]=0;
    merge(son[u][0],son[u][1]);
    son[u][0]=son[u][1]=0;
}

int main() {
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        v[i]=read();
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        int opt=read();
        if(opt==1) {
            int x=read(),y=read();
            if(v[x]==-1||v[y]==-1)continue;
            x=find(x),y=find(y);
            if(x==y)continue;
            merge(x,y);
        }
        else {
            int u=read();
            if(v[u]==-1) {puts("-1");continue;}
            u=find(u),pop(u);
        }
    }
    return 0;
}