我們對某個概念的第一次親密接觸塑造了對它的直覺印象。 而且，直覺會影響我們對一個學科的喜愛程度。什麼意思呢？比如，我們想給”貓”下個定義： 

• 山頂洞人版 一個毛茸茸的動物，有爪子、牙齒、一條尾巴和四條腿。高興的時候發出咕嚕咕嚕的聲音，生氣的時候嘶嘶的叫… 
  

• 進化論版 某種哺乳類動物的後代，有著某些特徵… 
  

• 現代版 那些可以稱之為定義？貓是一種動物，它們的DNA有著如下特徵: ACATACATACATACAT…
  

毫無疑問，現代版本的定義是最準確的。但是它是最好的嗎？你是這麼給小孩子教授”貓”這個單詞的？這個定義真的能更好揭示動物身上貓的特性嗎？不見得。現代的定義是有用的，但是是在我們理解了貓是什麼之後。我們不應該從現代的定義入手。

不幸的是，理解數學就像理解DNA一樣。我們被教授了現代的，嚴謹的定義，但是卻沒有告訴我們這些概念什麼怎麼來的。留給我們的是一堆神祕的方程式，但是背後的原理是什麼，我們卻知之甚少。

讓我們從不同的角度來探索一個概念。假想有一個圓：圓心是你正在學習的概念，而圍繞著它有著不同的事實描述。我們從某個角度開始學習，僅僅依靠一個定理或者觀點，然後努力思索不斷加強我們的理解。我們從貓有著共同的身體特徵推匯出貓有共同的祖先，繼而推匯出一個物種可以通過特定的DNA進行區分。啊哈！我們現在可以知道貓的定義是如何從山頂洞人的定義演化到現在的定義了。

但是並不是所有的起點都是一樣的。正確的視角使得我們學起來事半功倍 ——數學中發現定理的先驅們通常都具有啟發式的觀點。下面讓我一起學習如何構建我們的直覺吧。

1.

看上去似乎有無數多個定義。下面舉幾個例子： 

• 最對稱的二維圖形 
  

• 用最少的周長圍出最大面積的圖形 
  

• 平面中到定點距離相等點的集合 
  

• 滿足方程 x^2 +y^2 = r^2點的集合 
  

• 對所有的t，滿足引數方程 r*Sin(t),r*Cos(t) 的點集合 
  

• 切線始終與位置向量垂直的圖形

這個清單還可以繼續補充下去，但是有一個關鍵點：他們描述都描述了同一個概念。就像是說1（阿拉伯數字1），one（英文1）,uno（西班牙語1），eins（德語1），方程2x + 3 = 5的解，或者鼻子的個數。這些都表示數字1，只是同一個概念的不同的名字罷了。

但是這些初始的描述很重要——它們塑造了我們對此概念的直覺印象。因為先在現實世界中見到了圓而後我們才在課堂中學習它，我們明白它們是“圓”的。無論我們覺得方程式（x^2 +y^2 = r^2 ）多麼的令人驚豔，我們根深蒂固的知道圓圈是圓的。如果我們根據方程式進行作圖，得到的圖形是方的，或者不對稱，那肯定是出錯了。

做為小孩子，我們學習山頂洞人版圓的定義（就是很圓的東西），給了我們很樸素的直覺印象。我們發現在所有圓的東西上，點到中心的距離都是相等的。x^2 + y^2 = r^2是用解析的方法描述了同樣的事實，使用了畢達哥拉斯的距離表示方法。我們從一個點出髮根據我們的直覺，不斷的學習然後推匯出正式的定義。

其它的概念就未必如此幸運了。我們能夠憑直覺瞭解到 e 表示增長率嗎，或者它只是一個抽象的定義？我們能瞭解 i（虛數概念）表示旋轉嗎，還是它只是一個人造的，沒用的概念？

2. 培養直覺的策略 
時至今日我仍然需要時不時的提醒自己 e 與 i 的深層含義——這就像需要提醒自己就圈圈是圓的或者貓是什麼樣子一樣荒唐！我們應該從最自然的想法開始學習他們。

忽略了重點使我抓狂：數學是關於概念的——方程式只是一種解釋概念的方式而已。一定清楚了概念的要點，方程式很快就是建立起來。下面是一些對我有用的方法：

步驟1: 找出數學概念的中心主題。這個可能會很難，但是可以試著從它的歷史著手。這個概念第一次出現在哪裡？發現者做了哪些工作呢？概念之前的用途可能會和如今的解釋和用途有所不同。

步驟2：通過一個主題來解釋一個性質或定理。用一個主題來類比正式的定義。如果幸運的話，你可以把數學方程式（x^2 + y^2 = r^2）翻譯成通俗易懂的語言。（“距離中心距離相等的點的集合”）

步驟3：使用相同的主題來挖掘相關連的性質。一定你發現了一個行之有效的類比或者解釋，試試看是否它可以應用到其它的性質中。有時可以，有時不可以。這時候你需要重新審視了，但是你的發現會讓你大吃一驚。


3. 小試牛刀——一個例項：理解e 
理解數字e是一項艱鉅的任務。e出現在各種科學中，而且擁有多種定義，但是沒有一個以一種自然的方式來定義。讓我們圍繞著這個概念做一些深入的探究。下面的幾個小節會出現一些簡單描述這個概念的方程式。縱然方程式看起來有些莫名其妙，但是其背後有隱藏著簡單樸實的描述。 

下面是一些e的定義：
 第一步就是要尋找一個主題。檢視一下e的歷史，它好像和增長率或者利率相關。e是在做商業計算時發現的（而不是抽象的數學猜想），所以“利息”（增長率）就是個合適的主題。

我們來看一下第一個定義，圖中左上角的那個。對我而言，最關鍵的跳躍是，認識到這個定義和複利計算公式有多像。事實上，這就你按照儘可能快的方式，在單位時間內以 100% 複利增長的條件下利率計算公式。

定義1：e定義為以最小的增量之下，以100%的複利增長所能達到的極限值。

這篇講述e的文章(https://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/) 對上述定義做了詳細的解釋。

讓我們看一下第二個定義：一個無窮序列，後面每一項越來越小，這會是什麼呢？

使用“利率”主題來深刻的探討了這個定義。我們發現e的第二個定義是複利的組成部分。現在看起來還不是那麼直觀 – 我們思考一下在討論增長率時，“1+1+1/2+1/6 …”代表了什麼之後就可以柳暗花明了。

第一項（1=1/0!,記住0的階乘等於1）是你的本金，初始資本。第二項（1=1/1!）是你直接賺的的利息 – 本金1的100%。第三項(0.5 = 1/2!) 是你利息賺得的利息（“第二級利息”）。接下來的一項(.1666 = 1/3!)是你的第三級利息–也就是你利息的利息所賺得的利息。

錢可生錢，生出來的錢還可以繼續生錢，無窮無盡連綿不絕（子可生孫，孫又生子；子子孫孫，無窮匱也）– 這些無窮無盡的序列獨立作出了貢獻。還有很多東西可以說，但是還是讓我們圍繞增長率來理解這個概念吧。

定義2：e就是各項利息之和。
接下來我們來看e的第三個定義也是最短的一個。它是什麼意思呢？不要去想著導數（這會把你的大腦切換到方程式模式）而是去想想它是什麼。找找對方程式的感覺。讓它成為你的朋友。

這是用微積分的方式表示“增長率等於現在的數量”。嗯，增長率等於現在的數值意味著100%的增長率，沒錯吧。而它是一直增長就意味著需要一直計算利率 – 這是用另一種方式來描述連續複合增長率。

定義3：e就是一個按照100%增長率在增長的函式。
很好——e就是一直完全按照自身的大小（100%）在增長的數，而不是1%或200%。

我們來看最後一個定義 – 最棘手的一個。我的解釋是，相反我們不談論增長了多少量，現在來談一談增長到一定量需要花費多少時間。

若果數值1按照100%的增長率，從1增長到2將花費1個單位的時間。但是如果從2開始並且以100%增長率增長，這意味著每個單位時間可以增長兩倍。所以只要1/2單位時間就可以從2增長到3.從3增長到4值需要1/3單位時間就這樣增長下去。從1增長到A的總時間是從1增到2，2到3，3到4 …… 直到增長到A為止花費的時間。利用第一個定義很自然就可以從“增長所耗的時間”的計算中定義“自然對數（ln）”。

ln(a)就是從1增長到a所需要花費的時間。我們可以將e稱之為花費一單位時長可以增加多少。換言之，e就是一單位時長後所增長的部分！

定義4： 將從1連續增長到a所花費的時間為ln(a)。e就是經過1單位時間後所增加的量。

這就是描述神祕的e的四種方式。一定掌握了核心概念（e就是關於100%連續增長的）再複雜的方程式也可以搞得一清二楚 – 可以將微積分翻譯成樸實的語言。數學就是關於概念的。

4. 其中的寓意
在數學課上，我們通常從最新的複雜的概念開始學起。我們感到困惑並不意外：老師們給學生展示DNA結構而期望學生能夠看到一隻貓。

我從這個方法學到了不少經驗教訓，這直接造就了我如何理解以及解釋數學：

探索其中的要義並應用它們。最初的直覺可以幫我們洞察很多事情做到一步到位。從一個有意義的定義開始，然後圍繞著它不斷的發現別的定義。 

皮實一點。死記硬背概念並沒什麼卵用。如果不能茅塞頓開，試著換個角度。總有別的書籍，別的文章或者另外一些人可以幫助你理解。 

視覺化也很好。數學給人的感覺是嚴格的、解析的 – 但是視覺化的解釋也很好啊。虛數一直讓人覺得很費解，直到他們的幾何解釋曝於人前，距發現虛數都好幾十年了。整天盯著方程式看，數學家們也看不出個所以然來。

當我們過分強調定義本身而忽視對它的理解時，數學會變得很難學。記住，現代的定義是最先進的想法，並不是思想的源頭。不要害怕從一個可笑的角度去接觸概念 ，找出方程式背後最通俗易懂的語言。快樂的享受數學吧。

∑編輯 | Gemini

來源 | 遇見數學

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