兩個高斯分佈乘積的推導及解釋，BPMF 公式推導

兩個高斯分佈乘積服從高斯分佈
BPMF模型中公式推導
高斯先驗+ 高斯似然=高斯後驗分佈
然而，很多時候， 化簡成 標準的形式是困難的。
本文考慮從一階導數、二階導數角度獲得引數 $μ, Λ = \frac{1}{σ^{2}}$ .

1. 兩個高斯分佈的乘積

假設 $f (x) \sim N (μ_{1}, Λ_{1}^{- 1}), g (x) \sim N (μ_{2}, Λ_{2}^{- 1})$ 都是高斯分佈，即：

f (x) = \frac{{\sqrt{Λ}}_{1}}{\sqrt{2 π}} \exp^{- \frac{Λ_{1} (x - μ_{1})^{2}}{2}} g (x) = \frac{{\sqrt{Λ}}_{2}}{\sqrt{2 π}} \exp^{- \frac{Λ_{2} (x - μ_{2})^{2}}{2}}

令 $h (x) = f (x) g (x)$ , 則 $h (x)$ 也是高斯分佈；正態分佈的共軛先驗是正態分佈；

h (x) = f (x) g (x) = \frac{\sqrt{Λ_{1} Λ_{2}}}{2 π} \exp^{- \frac{Λ_{1} (x - μ_{1})^{2}}{2} - \frac{Λ_{2} (x - μ_{2})^{2}}{2}}

現在，我們想要獲得

f (x)

的標準型，即獲得其均值

μ

，方差

σ^{2} = Λ^{- 1}

(1). 直接通過配方，化簡：
這是一種常用的方法，但是多數時候化簡挺複雜的；
最終的結果如下：

h (x) \sim N (μ, Λ^{- 1}) μ = σ_{2}^{2} = \frac{μ_{1} σ_{2}^{2} + μ_{2} σ_{1}^{2}}{σ_{1}^{2} σ_{2}^{2}} = \frac{μ_{1} Λ_{1} + μ_{2} Λ_{2}}{Λ_{1} + Λ_{2}} Λ = \frac{1}{σ^{2}} = \frac{1}{σ_{1}^{2}} + \frac{1}{σ_{2}^{2}} = Λ_{1} + Λ_{2}