網路流學習筆記1——二分圖
阿新 • • 發佈：2019-01-10
注：本系列學習筆記大部分是根據zhhx dalao的講課課件來寫的（然後加上了蒟蒻的一些小yy以及題目解析），在此對zhhx表示深深的謝意！
PART1 一些概念與模型
二分圖最大匹配
就是一個二分圖中最多能夠匹配的對數。
建立一個源點S，一個匯點T，S點向左點集X連邊，右點集Y向T點連邊，兩個點集間從左向右連邊，容量都是1，求最大流即可。
很顯然一個流就代表一個匹配
（求最大流的演算法主要是KM（\(N*M^2\)），dinic演算法（\(M*N^2\)）。dinic演算法求二分圖最大匹配的時間複雜度是\(M*\sqrt N\)）
二分圖最大權匹配
別的和最大匹配一樣，但是給X到Y的邊加費用為對應的邊權，然後求S到T的最大費用流（注意這裡不是最大費用最大流，因為那個是要求在最大流基礎上的最大費用，可能就不是全域性最大費用了）
二分圖最小點覆蓋
就是選出來最少數量的點，使得這些點所連線的邊的並集覆蓋掉所有的邊。
定理：最小點覆蓋=最大匹配
證明：首先，對於flow個最大匹配，每個匹配都需要一個點，也就是最少需要flow個點，實際上最多也是隻需要flow個點，選了flow個點後，還有一條邊兩端的點都不在這個點集中說明還可以增廣，這就和最大流的假設違背了。
二分圖最小點權覆蓋集
定理：最小點權覆蓋=最小割=最大流
證明：S-X和Y-T的連對應點權容量的邊， X-Y的連容量inf的邊，然後求最小割，首先中間的邊不會被割，也就是左右邊的邊選一些割掉（左右選一些點作為覆蓋點）。
二分圖最大獨立集
在二分圖中選出來一些點，使得這些點兩兩之間都沒有邊相連。
定理：
yy的證明：一條邊只有兩個點，如果排除這些最小點覆蓋的集合，顯然每條邊只剩下剩下的那個點。這些點只有通過邊才能與其他點相連，但是它們相連的邊上的另外一點都已經被排除，所以相當於它們“與世隔絕”，所以這些點集就是最大獨立集的數量。
最大點權獨立集
定理：總點權-最小割
yy的證明：正難則反，這個東西肯定是總點權減去一個什麼值，然後這個值還要儘可能小，而且減去這個東西后還要保證留下來的點兩兩之間互不到達。將這個圖斷開的最小代價就是最小割了，所以自然減去的東西就是最小割了qwqwq
小結：
二分圖最大匹配=二分圖最小點覆蓋=最小割=最大流=n-最大獨立集。
二分圖最小權覆蓋 和 二分圖最大權獨立集 互補。
DAG最小路徑覆蓋（不相交）
DAG最小路徑覆蓋（可相交）
霍爾定理
霍爾定理拓展
PART2 一些題目練習
啊。。終於弄完了知識點。。。下面來練幾道題吧