題意如此理解：國王過生日要舉辦宴會，以拋硬幣來決定宴會的結束：當國王舉行第k次的生日，則每天拋一次硬幣，硬幣正面概率為p，反面則為（1-p），則當國王拋到第k次正面硬幣的情況下，結束生日party，而每天生日party的開銷為一個a0=1，d=2的等差數列，問國王生日party舉行的天數的期望和開銷的期望？

    這道有點鬱悶，在北大月賽中算是一道簡單題，只不過做的時候題目都沒理解進去，更別提做出來。

1、首先要求的 the expected number of days and the expected number of coins中的expected 是期望的意思，這個沒知道，屬於語言上的缺憾。

2、沒有領悟過來這是一道負二項分佈的題目（其實好像我只記得有二項分佈，對負二項分佈沒什麼印象）；

3、再次也是最難的：沒有想到還有這個公式用於求隨機變數的期望：D(x) = E(x^2) - E(x)*E(x) ==》 E(x^2) = D(x) +E(x)*E(x)。

講了上面三點解題思路應該出來了：

首先the expected number of days ，就是負二項分佈的期望E(x) = k/p。負二項分佈的概念：

    負二項分佈又稱帕斯卡分佈，是一種離散型分佈，常用於描述生物群聚性，醫學上用來描述傳染性或非獨立性疾病的分佈和致病生物的分佈，負二項分佈的試驗次數不固定也就是二項分佈的n=x+k。
    負二項分佈，試驗獨立進行，每次只有兩個結果，A，B，其中P(A)＝p，P(B)=1-p，試驗獨立進行到事件A發生r次停止，X表示到試驗結束時，事件B發生的次數，則X的分佈列為負二項分佈.     負二項分佈，記作ξ~NB(k，p) ，其期望E(ξ)=k(1-p)/p, 方差D(ξ)=k(1-p)/p^2，其中k為事件A發生k次停止，p為時間A發生的概率。     因此設國王開party的天數為X，則X=k的概率為C(k, k)*p^k，X=k+1的概率為C(k+1, k)*p^k**(1-p)，.....X=k+n的概率為C(k+n, k)*p^k*(1-p)^n，則X就服從負二項分佈X~NB(k，p) 。其期望E(X) = k/p。     設國王開party的開銷為E，則E=X^2。因為：第i天party的開銷為ai = 2*i-1，則進行i天的開銷Ei = Si = a1 + a2 + a3 .... + ai = i^2（出題者的目的昭然若揭），則E = X^2。因此E(X^2)=D(X)+E(X)*E(X) = k(1-p)/p^2 + (k/p)*(k/p)。     至此此題算是有個結果了，我想說的是這道簡單題真不簡單，至少對我而言。