Heap是一種資料結構，能保證取max/min是O(1)時間。通常如果查最小值/最大值，我們可以用Heap。如果是查是不是存在(Contain())，就用HashMap。如果又要查最小/大值，又要查是不是存在，就用Heap+HashMap.

Max-heap/Min-heap保證父節點都比子節點大/小，但兄弟節點之間沒有大小關係。

Heap雖然是一個(滿)二叉樹，但通常用陣列實現（因為容易實現）。一個節點i的左子節點編號是2*i，右子節點是2*i+1。Heap通常是完全二叉樹(因為效率高)，但沒有要求一定是完全二叉樹。

Heap Sort就是把所有元素放到Max Heap或Min Heap裡面，再一個一個pop出來。時間複雜度最壞/最好/平均 都是O(nlogn)，空間複雜度為O(1)。注意Heap Sort是不穩定排序，因為它不能保證重複元素排序後還保留前後一致的順序。注意Heap Sort實際應用不多，為什麼呢？因為Heap的維護很麻煩。實際場景中的資料是頻繁發生變動的，而對於待排序序列的每次更新（增，刪，改），我們都要重新做一遍堆的維護，以保證其特性(父節點大/小於其子節點)，這在大多數情況下都是沒有必要的。當資料更新不很頻繁的時候，堆排序可能會比較實用。

Priority Queue也是一種資料結構。其中每個元素都有一個關鍵字key，元素之間的比較都是通過key來比較的。優先佇列包括最大優先佇列和最小優先佇列，優先佇列的應用比較廣泛，比如作業系統中的排程程式，當一個作業完成後，需要在所有等待排程的作業中選擇一個優先順序最高的作業來執行，並且也可以新增一個新的作業到作業的優先佇列中。一個典型的例子是實時輸出最近的一個小時內訪問頻率最高的10個IP 。注意這裡是實時輸出，也就是說Priority Queue/Heap可以用於線上演算法，不需要讀完全部的資料，可以real time輸出到當前為止的結果。

Priority Queue可以用Heap實現，也可以用其他方式，比如說直接對陣列插入實現，但是效率不高。注意Priority Queue不是Queue，那為什麼它的名字裡面有queue呢？可能是因為它能提供queue的介面，比如remove()，pop()， insert(), top()等等。

Priority Queue和Heap有什麼區別嗎？如果是JAVＡ自帶的Priority Queue的話，答案是有的(C++的Priority Queue可能也類似，具體要確認一下）。
具體的區別是在remove操作中，Priority Queue的時間複雜度是O(n)，而Heap是O(logn)。因為Priority Queue需要找到這個資料，需要O(n)的時間，而Heap藉助了HashMap，所以只需要O(1)的時間就可以找到。那為什麼Priority Queue不用HashMap呢？這個就是JAVA提供的函式裡面沒有加上這一塊而已，如果自己程式設計就也可以是O(logn)。

C++的priority_queue的定義是：
priority_queue<Type, Container, Functional>

如果不寫後兩個引數，那麼容器預設用的是vector，比較方式預設用operator<，也就是優先佇列是大頂堆，隊頭元素最大。

另外，需要注意的是，C++ STL預設的priority_queue是將優先順序最大的放在佇列最前面，也即是最大堆。
假設有如下一個struct：

struct Node {
    int value;
    int idx;
    Node (int v, int i): value(v), idx(i) {}
    friend bool operator < (const struct Node &n1, const struct Node &n2) ; 
};

inline bool operator < (const struct Node &n1, const struct Node &n2) {
    return n1.value < n2.value;
}

priority_queue<Node> pq; // 此時pq為最大堆

如果需要最小堆，則需要如下實現：

struct Node {
    int value;
    int idx;
    Node (int v, int i): value(v), idx(i) {}
//  friend bool operator < (const struct Node &n1, const struct Node &n2) ;
    friend bool operator > (const struct Node &n1, const struct Node &n2) ;
}; 

inline bool operator > (const struct Node &n1, const struct Node &n2) {
    return n1.value > n2.value;
}

定義的時候宣告
priority_queue< Node, vector< Node >, greater< Node > > pq; // 此時greater會呼叫 > 方法來確認Node的順序，此時pq是最小堆。
可以參考下面定義最小堆的例子：

struct node{
  int idx;
  int key;
  node(int a=0, int b=0):idx(a), key(b){}
};

struct cmp{
  bool operator()(node a, node b){
    return a.key > b.key;
  }
}; 
priority_queue<node, vector<node>, cmp> q;

當然也可以將其乘以一個負數，比如要構造一個int型別的最小堆：

priority_queue pq; //
pq.push( -1 * v1) ; //
pq.push( -1 * v2) ; //
pq.push( -1 * v3) ; // 分別是插入v1, v2, v3變數的相反數，那麼pq其實也就變相成為了最小堆

另外，也可以通過定義struct cmp來實現，cmp裡面只需給出operator()函式。給出operator()後則不需再定義operator < 或operator >。
用這種方法必須通過以下方式定義priority_queue，自動生成最小堆，也就是根據operator()函式得到的最小元素會在top。如果想生成實際上的最小堆則修改一下operator()函式把>改為<即可。

    priority_queue<Node,vector<Node>,cmp>q;

#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
struct Node{
	int x, y;
}node;
struct cmp{
    bool operator()(Node a,Node b){
        if(a.x==b.x) return a.y>b.y;
        return a.x>b.x;}
};

 int main(){
    priority_queue<Node,vector<Node>,cmp>q;
    for(int i=0;i<10;i++){
    	node.x=i;
    	node.y=10-i/2;
		q.push(node);
    }
    while(!q.empty()){
        cout<<q.top().x<<' '<<q.top().y<<endl;
        q.pop();
    }
    return 0;
}

該程式碼輸出如下：
0 10
1 10
2 9
3 9
4 8
5 8
6 7
7 7
8 6
9 6

如果將operator()裡面的>改為<，則輸出結果為：
9 6
8 6
7 7
6 7
5 8
4 8
3 9
2 9
1 10
0 10