LOJ2325「清華集訓 2017」小Y和恐怖的奴隸主

題意：

"A fight? Count me in!" 要打架了，算我一個。

"Everyone, get in here!" 所有人，都過來！

小Y是一個喜歡玩遊戲的OIer。一天，她正在玩一款遊戲，要打一個Boss。

雖然這個Boss有10100${10}^{100}$​​點生命值，但它只帶了一個隨從——一個只有 m$m$ 點生命值的“恐怖的奴隸主”。

這個“恐怖的奴隸主”有一個特殊的技能：每當它被扣減生命值但沒有死亡（死亡即生命值 ≤0$\le 0$），且Boss的隨從數量小於上限 k$k$，便會召喚一個新的具有 m$m$點生命值的“恐怖的奴隸主”。

現在小Y可以進行

n$n$次攻擊，每次攻擊時，會從Boss以及Boss的所有隨從中的等概率隨機選擇一個，並扣減1$1$ 點生命值，她想知道進行 n$n$次攻擊後扣減Boss的生命值點數的期望。為了避免精度誤差，你的答案需要對998244353$998244353$取模。

資料範圍
1≤T≤1000,1≤n≤1018,1≤m≤3,1≤k≤8$1\le T\le 1000,1\le n\le {10}^{18},1\le m\le 3,1\le k\le 8$

題解：

最樸素的DP，利用概率算期望，記錄第i輪，分別有j，k，l個血量為1，2，3的奴隸主的概率。
DP[i+1][j′][k′][l′]+=k/j/lj+k+l+1DP[i][j][k][l]$DP[i+1][j^{\prime }][k^{\prime }][l^{\prime }]+=\frac{k/j/l}{}$

j+k+l+1DP[i][j][k][l]，
每個狀態都有1j+k+l+1$\frac{1}{j+k+l+1}$攻擊boss，有1j+k+l+1∗dp[i][j][k][l]$\frac{1}{j+k+l+1}\ast dp[i][j][k][l]$的貢獻。

n太大了，考慮矩陣快速冪。
如何把後面三維壓成一維呢？
發現所有合法狀態最多C210+C29+...+C22=165$C_{10}^2+C_9^2+...+C_2^2=165$個，
可以直接把所有狀態之間的轉移關係列出來，然後跑矩陣快速冪。
但是，複雜度為O(tot3logn)$O(to{t}^{3}logn)$，要T。

複雜度的瓶頸在於T組資料，每次矩陣*矩陣都是tot3$to{t}^3$,
但其實我們只需要答案那個1

×tot$1\times tot$的陣列。
那麼，預處理出2的冪次方的矩陣，由於矩陣乘法的結合率，
Ans=Ini∗Maxn=Ini∗Max(101...0)2=Ini∗Max2s∗Max2s−1∗...Max20$Ans=Ini\ast Ma{x}^n=Ini\ast Ma{x}^{(\mathrm{101...0}{)}_2}=Ini\ast Ma{x}^{2^s}\ast Ma{x}^{2^{s-1}}\ast ...Ma{x}^{2^0}$
一項一項，每次都是Ans向量乘矩陣，複雜度O(tot3logn+T∗tot2logn)$O(to{t}^{3}logn+T\ast to{t}^{2}logn)$

學習：

• 對於和的期望不好求，可以算每個狀態的概率*它的貢獻。（不過逆推可以較容易地求得和的期望）
• 表示清晰的多維DP陣列難以矩陣快速冪，但是可以看看所有狀態有多少，把狀態間的關係列出來，就可以轉移。
• 對於在貢獻在中間統計的情況，例如這個1j+k+l+1∗dp[i][j][k][l]$\frac{1}{j+k+l+1}\ast dp[i][j][k][l]$的處理，矩陣多開一位當計數器即可，既繼承上一個，又加上新增的。
• 當然這道題可以逆推，即dp[i][j

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