已知 D 維向量 x，其高斯概率分佈為：

N(x|μ,Σ)==1(2π)D/21|Σ|1/2exp(−12(x−μ)TΣ−1(x−μ))1|Σ|(2π)D−−−−−−−√exp(−12(x−μ)TΣ−1(x−μ))

• 顯然預設 x 是一個列向量

• 還需注意的是，當傳遞進去的是樣本矩陣 X（以行為樣本） 而不是列向量 x，則在計算指數部分時，

  -1/2*sum(X/Sigma .* X, 2);

• 當多元高斯分佈退化為一元高斯時，Σ 對應著 σ2（方差），而不是標準差（standard deviation）

• 這裡 d=(x−μ)TΣ−1(x−μ)−−−−−−−−−−−−−−−−√ 也稱為馬氏距離；
  是對一元高斯分佈對應的 d
  =x−μσ 得拓展；
• 多元時的 d=(x−μ)TΣ−1(x−μ)−−−−−−−−−−−−−−−−√ 也可視為某種程度的 z-分數，尤其在變數之間彼此獨立，並且方差相同時， d=∥x−μ∥σ（z-分數），
  

1. 條件高斯分佈（Conditional Gaussian distributions）

2. 程式設計時的技巧

• αexp(f(x)) 的計算通常轉換為，求對數，再求指數的形式：elogαexp(f(x))=elogα+f(x)

• p=1|Σ|(2π)D√exp(−12(x−μ)TΣ−1(x−μ)) ⇒ logp=−D2log(2π)−12log|Σ|−12(x−μ)T

  Σ−1(x−μ)

3. 多元高斯概率密度函式的 matlab 實現

function p = gaussProb(X, mu, Sigma)
d = size(Sigma, 2);
X = bsxfun(@minus, X, mu(:)');
log1 = -d/2*log(2*pi)-1/2*logdet(Sigma);
log2 = -1/2*sum(X/Sigma .* X, 2);
p = exp(log1+log2);
end

• 這裡的 X（樣本矩陣）以行為樣本；