大蒟蒻來水貼了！

算術基本定理（唯一分解定理）

一句話：
　　　　
任何大於１的自然數，都可以唯一分解成有限個質數的乘積

例如對於大於1的自然數n，

這裡Pi均為質數，其指數ai是正整數。
這樣的分解稱為的標準分解式。

唯一分解定理具有：
　①唯一性（分配方式的唯一性）
　②存在性　　　　

證明：

百度百科+自己胡搞了+自己以前做的筆記

①唯一性
　　首先明確一個事實，若p是ab的約數（p|ab,p可以整除ab），則p不是a的約數，就是b的約數。
　　如果p是a的約數則證畢。如果p不是a的約數，則p和a的最大公約數為1。
　　則由裴蜀定理推得，因為使a,b互質的充要條件是存在整數x,y使ax+by=1。
　　於是b=b(ma+np) =abm+bnp（……）；
　　因為先前已經知道p是ab的約數，則上式右邊兩項都可以被p整除。
　　所以p就是b的約數。
　　唯一性得證。
　　
②存在性
　　假設n為不能被分為質數的乘積的自然數之一，切n為最小
　　因為設n為大於1的合數（如果n為質數，則只有n=n，顯然這是質數的乘積）
　　因為每個合數都可以分為兩個大於1小於它的兩自然數的乘積
　　所以n=a×b
　　又因為n為不能被分為質數的乘積的自然數中最小的一個
　　所以a和b可以分為質數的乘積
　　所以n已就可以分為質數的乘積，與假設不符合，故假設錯誤
　　存在性得證。　

　　現在我們來看下下下面這個式子：
　　已知gcd[最小公約數] (a,b)，lcm[最大公倍數] (a,b)；
　　a×b=gcd(a,b)×lcm(a,b)
　　
　　a=12;b=14
　　gcd(a,b)=2 ; lcm(a,b)=84 ;
　　tot=168 [gcd(a,b)×lcm(a,b)]
　　a×b＝12×14=168
　　然後
　　12=3×4
　　14=2×7
　　：
　　：
　　12=2^1×2^1×3^1
　　14=2^1×7^1
　　所以 max=7^1×3^1×=21
　　　　 min=2^1×2^1×2^1=8
　　　　 min×max＝168 = gcd(a,b)×lcm(a,b) = a×b
　　
　　所以gcd(a,b)×lcm(a,b) = a×b
　　
　　證明：
　　設x=gcd(a,b)，y=lcm(a,b)
　　則a=m×x，b=n×x,m與n互質
　　故y=m×n*x
　　因此x×y=x×(m×n×x)=(m×x)×(n×x)=a×b
　　即a×b=gcd(a,b)×lcm(a,b)

THE END

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