無向圖求割頂與橋

        具體原理： 劉汝佳<<訓練指南>>P312-314頁（強烈推薦）。

        對於無向圖G，如果刪除某個點u後，連通分量數目增加，稱u為圖的關節點或割頂

      如果刪除邊(u,v)一條邊，就可以讓連通圖變成不連通的，那麼邊(u,v)是橋。

        求無向圖割頂和橋的DFS函式.

         一個定理：

        在無向圖的dfs樹中，非根節點u是G的割點當且僅當u存在一個子節點v，使得v及其所有後代都沒有反向邊連回u的祖先。

       令pre[i]表示第一次訪問i點的時間戳

       令post[i]表示第二次訪問i點的時間戳 

       令low[i]表示i節點及其後代所能連回(通過反向邊)的最早祖先的pre值.

       下面的dfs函式返回的是當前遍歷的節點u的low值.如果u是割頂還會標記u節點.且如果u->v(v是u的兒子節點)邊是橋也會標記該邊.

   1.無向圖森林dfs森林

int dfs(int u)
{
    vis[u] = 1;
    pre[u] = ++ord;
    int d = G[u].size();
    for(int i = 0;i < d;i++){
        int v = G[u][i];
        if(!vis[v]) dfs(v);
    }
    post[u] = ++ord;
}

 2.求low函式及所有割頂和橋

//求無向圖的割頂和橋，結點是從0開始
 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
const int maxn=100000+10;
int n,m;
int dfs_clock;//時鐘，每訪問一個節點增1
vector<int> G[maxn];//G[i]表示i節點鄰接的所有節點
int pre[maxn];//pre[i]表示i節點被第一次訪問到的時間戳,若pre[i]==0表示i還未被訪問
int low[maxn];//low[i]表示i節點及其後代能通過反向邊連回的最早的祖先的pre值
bool iscut[maxn];//標記i節點是不是一個割點
 
//求出以u為根節點(u在DFS樹中的父節點是fa)的樹的所有割頂和橋
//初始呼叫為dfs(root,-1);
int dfs(int u,int fa)
{
    int lowu=pre[u]=++dfs_clock;
    int child=0;    //子節點數目
    for(int i=0; i<G[u].size(); i++)
    {
        int v=G[u][i];
        if(!pre[v])
        {
            child++;//未訪問過的節點才能算是u的孩子
            int lowv=dfs(v,u);
            lowu=min(lowu,lowv);
            if(lowv>=pre[u])
            {
                iscut[u]=true;      //u點是割頂
                if(lowv>pre[u])   //(u,v)邊是橋
                    printf("邊(%d, %d)是橋\n",u,v);
            }
        }
        else if(pre[v]<pre[u] && v!=fa)//v!=fa確保了(u,v)是從u到v的反向邊
        {
            lowu=min(lowu,pre[v]);
        }
    }
    if(fa<0 && child==1 )
        iscut[u]=false;//u若是根且孩子數<=1,那u就不是割頂
    return low[u]=lowu;
}
 
int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m)==2&&n)
    {
        dfs_clock=0;//初始化時鐘
        memset(pre,0,sizeof(pre));
        memset(iscut,0,sizeof(iscut));
        for(int i=0;i<n;i++) G[i].clear();
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            int u,v;
            scanf("%d%d",&u,&v);
            G[u].push_back(v);
            G[v].push_back(u);
        }
        dfs(1,-1);//初始呼叫
        for(int i=0;i<n;i++)if(iscut[i]==true)
            printf("割頂是:%d\n",i);
    }
    return 0;
}

經典例題：

poj 2117 Electricity (無向圖割點去除後最大連通分支數)

BZOJ1123BLO Tarjan割點