以下為2017年全國 NOIP 提高組複賽的第1題：

 

 

怎麼樣，讀完題是不是感覺特別懵。—— 我是誰，我在哪裡？

接下來我們來慢慢解析這道讓人摸不著頭腦的競賽題。

 

一、首先翻譯一下題的意思：

• 假設，現在人民幣只有兩個幣種，面值你定
• 對面值數字的要求是這兩個數字不能有公約數（除1這個公約數外）
     例如：2和5
• 問用這兩個面值的錢，不能湊齊的最大的價錢是多少
• 當然，前提是你有任意多的錢

是不是稍微要清晰一些了呢。

 

二、那我們接下來用python寫一個程式來完成這道題：

整個過程分兩步：

第一步：藉助 python 找規律劃範圍

 

 1 # 先找出能湊出來的金額
 2 def myFunc(a, b):  # 輸入a,b 兩個互素的面值
 3     c = 1  # 從1開始找出能湊出的金額
 4     while True:  # 不斷迴圈，電腦配置低的，請遠離，前方危險
 5         for i in range(c):
 6             an01 = a * i
 7             for j in range(c):
 8                 an02 = b * j
 
 9                 if an01 + an02 == c:  # 一旦找到能湊出當前金額c的i和j，打印出來
10                     # print(c, "=", a, '*', i, '+', b, '*', j)
11                     print(c,end='  ')
12         c += 1  # 金額不斷上漲，上不封頂
13 
14 
15 if __name__ == "__main__":
16     myFunc(3, 5)

結果為：

 

 

如果將面值設定為 7,5 呢

結果：

 

 

再如果換成 7,9

結果：

 

綜上:

> 我們可以發現，不可組合的面值均集中在靠前的位置，但有多靠前，具體又在哪個位置呢？

> 我們姑且假定這個數字就在 兩數的乘積 之內，而且事實也是這樣的。大家可以多試幾對數字，檢驗一下。

 

 

二、範圍找到後，我們再來考慮用 python 找出範圍內的不可組合的金額值：

  備註：上面的程式是一個死迴圈，需要手動結束程式，建議不懂操作的小夥伴謹慎執行（嘿嘿，你是不是已經入坑啦！）。但下面這個程式就不一樣了，小夥伴們儘管去執行吧。

 

 1 # 找出兩數乘積範圍內的可組合資料
 2 def myFunc(a, b):
 3     c = a * b
 4     my_list = []  # 建立存放所有組合出來的金額值
 5 
 6     # 找尋過程 -- 不斷對比
 7     for i in range(0, c):
 8         an01 = a * i
 9         for j in range(c):
10             an02 = b * j
11             if an01 + an02 <= c:  # 只找在乘積範圍內的組合，節省運算次數
12                 my_list.append(an01 + an02)  # 將符合的金額新增進目標列表
13     return list(set(sorted(my_list)))  # 返回經過去重和排序的目標列表
14 
15 
16 # 找到最大的那個不能組合的金額
17 def getMax(a, b):
18     my_list = myFunc(a, b)  # 呼叫找可拼湊資料函式得到目標列表
19     my_list.sort(reverse=True)  # 將目標列表反序排列
20 
21     # 判斷目標列表是否連續，並輸出斷點數中的最大值
22     y = my_list[0] + 1  # 建立對比引數
23     for x in my_list:
24         if x + 1 != y:
25             print(x, y)
26             break
27         y = x
28     return y - 1  # 返回最大斷點值
29 
30 
31 if __name__ == "__main__":
32     print(getMax(16, 27))

 

 結果為：

 

不知道大家有沒有發現一個問題，這個最大不可組合資料似乎有一定的規律，規律為：

> c = a * b - a - b

> ( 其中的a 和 b 為你輸入的兩個互為素數的幣種面值，c為它們不能組合的金額 )
大家可以多試幾組資料，驗證一下。

> 而且我要悄悄告訴你的就是，這個公式可是一個牛哄哄的定理，名字叫：賽瓦維斯特定理

 

> 賽瓦維斯特定理:

> 已知a,b為大於1的正整數，(a,b)=1,則使不定方程 ax+by=c 無負整數解的最大整數c=ab−a−b   

> 其中的 (a,b) 表示a和b的最大公約數

 

怎麼樣，通過兩個程式，我們就很容易的解決了這個看起來不那麼友好的競賽題。
此時，是不是覺得 python 很酷呢！

筆者會不定時的更新一些跟python相關又和數學相關的一些有趣的程式，喜歡就關注我吧。

 

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