電話線Telephone Wire
[USACO07NOV]

Question In English（BY USACO）
中文翻譯（翻譯自Stockholm_Sun）

Telephone Wire
電話線

Farmer John’s cows are getting restless about their poor telephone service; they want FJ to replace the old telephone wire with new, more efficient wire. The new wiring will utilize N (2 ≤ N ≤ 100,000) already-installed telephone poles, each with some heighti meters (1 ≤ heighti ≤ 100). The new wire will connect the tops of each pair of adjacent poles and will incur a penalty cost C × the two poles’ height difference for each section of wire where the poles are of different heights (1 ≤ C ≤ 100). The poles, of course, are in a certain sequence and can not be moved.
農夫約翰的牛們對他們爛到爆的電話服務感到焦躁不安；他們想讓農夫約翰把舊的電線換成全新的並且更高效的電線。這組新的線路將會利用N(2 ≤ N ≤ 100,000) 條已經安裝了的電線杆，每個電話杆都有H（i）米高(1 ≤ H（i） ≤ 100)。這個新的電話線將會連線每一對相鄰的電線杆，並且會產生（C*兩電線杆高度之差）的代價(1 ≤ C ≤ 100)。當然，電線杆是有序的而且不能被移走。

Farmer John figures that if he makes some poles taller he can reduce his penalties, though with some other additional cost. He can add an integer X number of meters to a pole at a cost of X2.
農夫約翰想到了這樣一個事實：如果他讓一些電線杆變得更高，那麼他就可以減少他的花費，儘管還有一些額外的花費。它能夠花X^2的代價給一個電線杆增加X的高度（附註：可以給任意電線杆增加任意正整數高度）。

Help Farmer John determine the cheapest combination of growing pole heights and connecting wire so that the cows can get their new and improved service.
幫助農夫約翰決定出最划算的增長電線杆高度的方案，然後連線電線以至於奶牛們可以得到他們全新並改善的服務。

Input & Output Format
輸入輸出格式

Input Format
Line 1: Two space-separated integers: N and C
Lines 2..N+1: Line i+1 contains a single integer: heighti
輸入格式：
第1行：兩個用空格分開的整數：N和C
第2至N+1行：第i+1包含一個單獨的整數：H（i）

Output Format
Line 1: The minimum total amount of money that it will cost Farmer John to attach the new telephone wire.
輸出格式：
第1行：農夫約翰連線新電話線所花費的最少總錢數。

Samples Input & Samples Output
輸入輸出樣例

Samples Input
輸入樣例#
5 2
2
3
5
1
4

Samples Output
輸出樣例#1：
15

思路

看到題目，我們考慮動態規劃，先假設f[ x ]為在x之前花費的最小价格，但是我們需要考慮為電線杆增加高度。
所以考慮升維，既然高度未知，我就升維，f[ x ][ h ]就是前x個電線杆，且第x個高度為h的最小花費。
我們就可以列舉前一個的高度和當前杆子的高度，從前一個轉移而來：f[i][j]=min{f[i-1][k]+(j-h[i])*(j-h[i])+abs(j-k)*p};這個就是狀態轉移方程。
最後答案為f[n][i]max。

程式碼

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<deque>
#include<algorithm>
using namespace std;  
long long i,j;
long long k,n,p;
long long h[100001],f[100001][101];

long long r()
{
    long long p=0,f=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')
    {
        if(c=='-')
        {
            f=-1;
        }
        c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9')
    {
        p=p*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return p*f;
}
char chr;

int main()
{
//  freopen("out.txt","w",stdout);
    n=r(),p=r();
    long long maxx=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        h[i]=r();
        if(h[i]>maxx)
        maxx=h[i];
    }

    memset(f,0x7f7f7f,sizeof(f));

    for(i=h[1];i<=100;i++)
    f[1][i]=(i-h[1])*(i-h[1]);

    long long ans=0x7fffffff;
    for(i=2;i<=n;i++)
    for(j=h[i];j<=maxx;j++)
    {
        ans=0x7fffffff;
        for(k=h[i-1];k<=maxx;k++)
        {
            if(f[i-1][k]+(j-h[i])*(j-h[i])+abs(j-k)*p<f[i][j])
            f[i][j]=f[i-1][k]+(j-h[i])*(j-h[i])+abs(j-k)*p;
            if(f[i][j]>ans) break;
            else ans=f[i][j];
        }
    }
    ans=0x7fffffff;
    for(i=h[n];i<=100;i++)
    ans=min(ans,f[n][i]);
    cout<<ans;
    return 0;
}
/*

*/