莫比烏斯反演

引入

莫比烏斯反演一般都是先定義一個函式F(n)$F(n)$,再由F(n)$F(n)$定義函式G(n)$G(n)$：G(n)=ΣF(d)$G(n)=\Sigma F(d)$,其中d$d$被包含於n$n$。我們只知道G(n)$G(n)$的值，由G(n)$G(n)$反推F(n)$F(n)$，這個過程就叫做“反演”。
例：S$S$、X$X$是兩個集合，先定義F(S)$F(S)$，再定義G(S)=ΣF(X)$G(S)=\Sigma F(X)$，其中X$X$為S$S$的一個子集。如果已知G$G$的值，便可以通過關於集合包含的公式：F(S)=Σ((−1)|S|−|X|∗G(X))$F(S)=\Sigma ((-1{)}^{|S|-|X|}\ast G(X))$
而反演的實質就是容斥！

定理

定義F(n)和f(n)是定義在非負整數集合上的兩個函式，且滿足

• 若d=1$d=1$，那麼μ(d)=1$\mu (d)=1$
• 若d=p1×p2⋯×pk$d=p_1\times p_2\cdots \times p_k$，pi$p_i$為互異素數，那麼μ(d)=(−1)k$\mu (d)=(-1{)}^k$
• 其他情況下μ(d)=0$\mu (d)=0$

另一種莫比烏斯反演

證明