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• 洛谷 P4827
• BZOJ 2159

Solution

• 好久沒寫部落格了，來水一篇
• 發現一個困難： $dist(i$
  , j ) k dist(i,j)^k 沒有可加性
• 換句話說， $(d$
  i s t ( i , j ) + 1
  ) k (dist(i,j)+1)^k 不能用僅含 $dist(i,j)^k$ 的式子表示出來
• 使用二項式定理展開 $(dist(i,j)+1)^k$ ，可以做到 $O(nk^2)$ 的優秀複雜度，拿到 $50$ 分的優秀得分
• 考慮等式
• $i^k=\sum_j\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}\times\binom ij\times j!$
• 證明右轉 蒟蒻的部落格
• 其中 $\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}$ 為第二類斯特林數，即 $n$ 個元素劃分成 $m$ 個無序非空集合的方案數， $\binom nm$ 為組合數 ，即 $n$ 個元素中選出 $m$ 個無序元素的方案數
• 把式子化一下
• $\sum_{j=1}^ndist(i,j)^k=\sum_{j=1}^n\sum_{h=0}^k\begin{Bmatrix}k\\h\end{Bmatrix}\times\binom{dist(i,j)}h\times h!$
• $=\sum_{h=0}^k\begin{Bmatrix}k\\h\end{Bmatrix}\times h!\times\sum_{j=1}^n\binom{dist(i,j)}h$
• 於是我們要求的就是對於每個 $1\le u\le n$ ， $0\le i\le k$ ，求
• $\sum_{v=1}^n\binom{dist(u,v)}i$
• 我們的狀態出來了
• $f[u][i]$ 表示 $u$ 到 $u$ 的子樹內的所有點的距離，的 $\binom{dist}i$ 之和
• 根據優美的組合數公式 $\binom nm=\binom{n-1}m+\binom{n-1}{m-1}$ 得到
• $f[u][i]=\sum_{v\in substree[u]}\binom{dist(u,v)}i$
• $=\sum_{v\in substree[u]}(\binom{dist(u,v)-1}i+\binom{dist(u,v)-1}{i-1})$