前言：
新年第一個工作日，為什麼這麼頹這麼困。。。

學長退役的時候，曾經問過我：你們都知道我們的blog嗎
我表示Of course

今天在網上翻到了abclzr的blog
想當年莫比烏斯反演是TA爺給學長們講的
雖然聽過天宇哥哥，姜爺和丁隊的課，然而對於這種高階數論，不敢說掌握（甚至連理解都做不到）

基礎知識

學長blog的第一部分是：列舉除法

不要以為這是c++入門操作而不xi看
在做了一部分反演題之後，發現列舉法是最常用的一種奇技淫巧

• trunc(n/i)只有O(sqrt(n))種取值
• 對於i，是與n除以i並下取整取值相同的一段區間的右端點
• 一個很有用的性質：
  
• 上取整也有上述的3個性質

積性函式

• f(ab)=f(a)*f(b)
• 完全積性：不要求gcd(a,b)=1
• 一般會考慮成：
• 當f不是0的常值函式時，f(1)=1
• 積性函式的狄利克雷字首和也是積性函式
  
• 兩個積性函式的狄利克雷卷積也是積性函式
  
• 積性函式可以線性篩出，線篩可以找到每個數的最小質因子及其次數，如果我們可以以較小的代價求出f(p^k)，我們就可以線篩了

常見的積性函式

1. 除數函式σk(n)=∑d^k，表示n的約數的k次冪和
2. 約數個數函式：d(n)
3. 約數和函式σ(n)，表示n的約數之和
4. 尤拉函式φ(n)，表示不大於n且與n互質的正整數個數
5. 莫比烏斯函式μ(n)，在狄利克雷卷積的乘法中與恆等函式互為逆元，完全積性
6. 元函式e(n)=[n=1]，狄利克雷卷積的乘法單位元，完全積性
7. 恆等函式I(n)=1：完全積性
8. 單位函式id(n)=n：完全積性
9. 冪函式idk(n)=n^k：完全積性

初等積性函式μ

• 官方定義
  
• 簡單性質
  
• 莫比烏斯反演
  

初等積性函式φ

• φ(n)表示1~n於n互質的數的個數
  關於φ函式的計算，有好幾種方式：
  
• φ實際上完全可以用μ代替
• 簡單性質：
  

杜教篩

在網上翻大神的blog的時候，看到別人的老師說的杜教篩祕訣：

這裡就必須要吐槽一下了：
人家的老師這麼專業，這麼友善
能給學生如此細心的講解問題呢（而且人家的老師還自己維護blog，方便學生學習）

而我們的老師也很NB：
會教物理，會玩手機，會查監控，會抓頹，會搞衛生，會灌雞湯。。。
所以我們學不好不是我們的錯

我無f*ck說

要學杜教篩，我們首先需要介紹狄利克雷卷積：

狄利克雷卷積滿足以下性質：
（設數論函式集為I）

1. 結合律： ∀f,g,k∈I，(f∗g)∗k=f∗(g∗k)
2. 單位元： ∃ϵ∈I，∀f∈I，f∗ϵ=ϵ∗f=f
3. 逆元： ∀f∈I，∃f∈I，f∗g=ϵ
4. 封閉性： ∀f,g∈I，f∗g∈I
5. 交換律： ∀f,g∈I，f∗g=g∗f

（實際上也就是計算律有那麼一丁點用）

有了狄利克雷卷積，我們就來看一下杜教篩（終於進入了正題）：

假設我們要求：

設g∈I，且g(1)!=0

也就是

如果我們能夠快速地對g和f∗g求和，
那麼由於所有的⌊n/i⌋只有O(sqrt(n))種，則對於所有i，
計算S(⌊n/i⌋)的時間複雜度為