an=?0≤n≤10105$$a^n=?0\le n\le {10}^{{10}^5}$$
沒錯，乘法快速冪就是解決上述問題的。

乘法快速冪的思想

可以看到，要求一個數的a$a$的n$n$次冪，而且這個n$n$非常大，如果利用迴圈來處理，O(n)$O(n)$的時間複雜度對於計算機的處理速度來說是遠遠不夠的；

迴圈既然不能滿足要求，那我們能不能加速一下這個迴圈呢，比如O(n)→O(logn)$O(n)\to O(logn)$的優化呢？

迴圈的做法是把這個式子展開：

an=a×a×⋯an$$a^n=\underset{n}{\underbrace{a\times a\times \cdots a}}$$

然後從左到右依次相乘，最後得到結果。但是仔細一看可以知道：

an=a×a×⋯an2×a×a×

⋯an2×(a|1)=an2×an2×(a|1)$$\begin{array}{}{a}^n& =\underset{\frac{n}{2}}{\underbrace{a\times a\times \cdots a}}\times \underset{\frac{n}{2}}{\underbrace{a\times a\times \cdots a}}\times (a|1)\\ =a^{\frac{n}{2}}\times a^{\frac{n}{2}}\times (a|1)\end{array}$$

按照迴圈的做法，當求出了an2$a^{\frac{n}{2}}$的時候，後面的an2$a^{\frac{n}{2}}$你也就知道了，不需要再計算了，但是迴圈的做法還是會計算，這也就導致了效率低下，沒有用到之前的計算結果。

你是不是很快就會想到：在迴圈的做法中，當算出a1$a^1$的時候馬上就可以知道a2$a^2$，那麼很快就可以知道a4$a^4$，……，沒錯，確實是這樣，但是問題來了，這樣的遞增如何才能保證你剛好就算到了an$a^n$。有可能你跨過了an$a^n$，這些都是存在的；

出現上面這種情況是因為你用到了倍增的想法(這個想法可以用在快速冪的非遞迴實現中)，從小到大，而如果把這個問題倒過來看：要求

an$a^n$，是不是要先求an2$a^{\frac{n}{2}}$；要求an2$a^{\frac{n}{2}}$，是不是要求an4$a^{\frac{n}{4}}$，……，那麼這裡n$n$有可能是奇數，沒關係啊，是奇數我們就把答案再多乘一個a$a$，即a2k+1=ak×ak×a$a^{2k+1}=a^k\times a^k\times a$。這樣最終我們要解決的問題就是a0$a^0$，a0=1$a^0=1$啊，這麼一說，乘法快速冪的遞迴寫法是不是就呼之欲出了。

快速冪的高效

不過這裡先說一下乘法快速冪的時間複雜度，由於遞迴版的乘法快速冪是基於二分遞迴的，因此時間複雜度為O(logn)$O(logn)$，那麼在文首的那個背景下，n