之前看了乘法逆元(詳見除法取模與逆元)，發現不能處理不互質的情況，於是去找方法，最後找到了Lucas定理。。。
雖然與期待中的不一樣，但是還是非常有用的。

（1）Lucas定理：

若p為素數，則有:

Cnm≡∏i=0kCnimi(modp)
n=nkpk+nk−1pk−1+...+n0
m=mkpk+mk−1pk−1+...+m0
ni,mi即為把n,m轉換成p進位制後對應的第i+1位數字。
因為a的p進位制的最後一位為a%p，所以原公式可以轉化為：
Cmn≡C[mp][np]×Cmmodpnmodp(modp)
這個就是我們常使用的公式。
證明：
我們可以用歸納法證明整個定理。我們有下面的式子成立：
(

1+x)n≡(1+x)p[np](1+x)nmodp≡(1+xp)[np](1+x)nmodp≡{∑i=0[np]Ci[np]xpi}{∑j=0nmodpCjnmodpxj}(modp)

上式左右兩邊的x的某項xm(m≤n)的係數對模p同餘。
其中左邊的xm的係數是 Cmn。 而由於nmodp和mmodp都小於p，因此右邊的xm一定是由 x[mp]p 和 xmmodp (即i=[mp],j=mmodp ) 相乘而得,因此有：Cmn=C[mp][np]×Cmmodpnmodp(modp)。

（2）擴充套件Lucas：

若p不是素數，我們將p分解質因數，將Cmn分別按照（1）中的方法求對p的質因數的模，然後用中國剩餘定理合併。
例如：
當我們需要計算C

mnmodp，其中p=pq11×p

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