天平秤重問題（三進位制）
[問題描述]：
有一隻天平和N只砝碼，如何設計這N只砝碼，才能使這天平能夠連續秤出的重量最大？假設砝碼的最小單位為1克，秤物時物品放在天平的左邊，砝碼可以放在右邊也可以放在左邊，不管放在哪一邊只要天平能夠平衡就行，物品的重量應是右邊砝碼總重量減去左邊砝碼的重量。
輸入一個物品的重量，輸出其秤重方案。
[分析與演算法選擇]：
這個問題是從一個經典的數學問題變化而來，這個數學問題的大意是：一個物體重40磅，掉在地上後摔成四片，這四片恰好能夠作為砝碼連續秤出40磅以內的物品的重量，這四片的重量如何？
（1）如何設計砝碼？
我們先不去看單位，直接用數字來描述。因為要能連續秤出一範圍內的值，所以首先要有1，從數學上可以知道，N只砝碼本身最大能秤的總重就是這N只砝碼的重量和，下面就看如何保證連續的數都能秤出了。設這N只砝碼的重量分別為W1、W2……Wn，且有W1<=W2<=……<=Wn， W1=1，下面看W2如何設計。
如果W2=1，1、2都能秤出；如果W2=2，1、2、3都能秤出；如果W2=3，1可以秤出（W1）、2可以秤出（W2-W1）、3可以秤出（W2）、4也可以秤出（W1+W2）；如果W2=4，則2不能秤出；所以W2最大為3（=3*W1）。
同理可推出W3最大為9（=3*W2）；
……
Wn最大為3n-1（=3*Wn-1）。
設計方案為這N只砝碼重分別為：1、3、9、27、……、3^n-1。
（2）如何根據物品重量得到秤重方案？
物品（+砝碼） 砝碼
因為物品固定放在一連（如左邊），只要考慮砝碼放的情況。任一個砝碼都可能有三種狀態：一是跟被秤物品放在一起（如左邊），二是不放，三是放在物品另一邊（如右邊）。最後物品的重量等於所有砝碼乘上相應係數的和。這個係數可能是：-1、0、1。
先來看3只砝碼時各種重量的稱法，如下表所示，其中-1表示砝碼放在物品一邊、0表示砝碼不放進天平、1表示砝碼放在物品另一邊，如果每一位加1後便只會是0、1、2這3個數字中的一個，所以可以方便地跟三進位制數對應起來：
|
物品重量 |
3只砝碼 |
每一位加1 |
|||
|
9 |
3 |
1 |
三進位制數 |
十進位制數 |
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
112 |
14(=1+13) |
|
2 |
0 |
1 |
-1 |
120 |
15(=2+13) |
|
3 |
0 |
1 |
0 |
121 |
16(=3+13) |
|
4 |
0 |
1 |
1 |
122 |
17(=4+13) |
|
5 |
1 |
-1 |
-1 |
200 |
18(=5+13) |
|
6 |
1 |
-1 |
0 |
201 |
19(=6+13) |
|
7 |
1 |
-1 |
1 |
202 |
20(=7+13) |
|
8 |
1 |
0 |
-1 |
210 |
21(=8+13) |
|
9 |
1 |
0 |
0 |
211 |
22(=9+13) |
|
10 |
1 |
0 |
1 |
212 |
23(=10+13) |
|
11 |
1 |
1 |
-1 |
220 |
24(=11+13) |
|
12 |
1 |
1 |
0 |
221 |
25(=12+13) |
|
13 |
1 |
1 |
1 |
222 |
26(=13+13) |
由上表我們可以總結出這樣的計算方法：對於給定的物品重量，先確定它最多用到多大的砝碼，假定是3n-1，那麼先將這個物品的重量加上1、3、……3n-1，得到一個數，再對這個數進行除3取餘運算，當餘數為0時表示相應的砝碼跟物品放在一起，餘數為1時表示相應的砝碼不放，為2時表示放在物品的另一邊。
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