前言

在Monte Carlo模擬技術中，許多地方都需要用到符合標準正態分佈(高斯)的隨機數來設計取樣方案，因此瞭解如何用均勻分佈隨機數(實際上是均勻分佈的偽隨機數)來生成標準正態分佈的隨機數十分重要。本文將對這個最基本的問題做討論，並提供c++11程式碼。

在討論更高效的演算法之前，我們先來看看能不能基於中心極限定理來設計演算法。中心極限定理告訴我們，對於一組i.i.d$i.i.d$的隨機數{xk}∼U(μ,σ2)$\{x_k\}\sim U(\mu ,{\sigma }^2)$，有1n∑ni=1xi→N(μ,σ2/n)$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i\to N(\mu ,{\sigma }^2/n)$。這個演算法有兩個問題：
1. 計算量大。生成一個數需要用n個均勻分佈隨機數。
2. 無法準確刻畫正態分佈的末端效應。生成的數均有界，不會是很大的數。

此外，如果用“拒絕取樣(rejection sampling)“的思路，在覆蓋f(x)=ce−x2/2$f(x)=c{e}^{-x^2/2}$的矩形內均勻投點，保留曲線下的點，則計算較複雜(exp函式)，而且捨棄點多代價大。

我們下面介紹兩種更高效的演算法：The Box–Muller transform 和 The Ziggurat algorithm。它們一個是對分佈函式做了變換，另一個還是使用了“拒絕取樣“的思路，但並不是簡單的僅用一個大矩形覆蓋。

The Box–Muller transform

The Box–Muller transform 把一對均勻分佈隨機數對映到一對標準正態分佈隨機數。它有兩種形式：
1. 基本形式：用

(0,1)$(0,1)$均勻分佈隨機數，需要計算三角函式sin$\sin$和cos$\cos$；
2. 極座標形式：用(−1,1)$(-1,1)$均勻分佈隨機數，且不需要計算三角函式。

我們希望計算積分I=∫∞−∞e−x2/2dx$I={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2/2}dx$，可以先取它的平方並用極座標表示，

I2=∫∞−∞∫∞−∞e−(x2+y2)/2dxdy=∫2π0∫∞0rer2/2drdθ.$$I^2={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(x^2+y^2)/2}dxdy={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}r{e}^{r^2/2}drd\theta .$$可以看到極角θ$\theta$服從(0,2π)$(0,2\pi )$均勻分佈，徑向距離r$r$服從rer2/2$r{e}^{r^2/2}$分佈函式(即r2$r^2$服從χ2分布${\chi }^2分布$)。如果把r$r$的累積分佈函式(cumulative distribution function)寫出來

F(x)=∫x0rer2/2dr=1−e−x2/2,$$F(x)={\int }_0^{x}r{e}^{r^2/2}dr=1-e^{-x^2/2},$$我們就可以通過F$F$的逆函式F−1(u)$F^{-1}(u)$，將均勻分佈u∼U(0,1)$u\sim U(0,1)$對映到目標分佈，即x=−2ln(1−u)−−−−−−−−−

相關推薦

如何用均勻分佈隨機數生成正態分佈隨機數

前言 在Monte Carlo模擬技術中，許多地方都需要用到符合標準正態分佈(高斯)的隨機數來設計取樣方案，因此瞭解如何用均勻分佈隨機數(實際上是均勻分佈的偽隨機數)來生成標準正態分佈的隨機數十分重要。本文將對這個最基本的問題做討論，並提供c++11程式

用各種GAN生成正態分佈

用GAN生成正態分佈     畢設中有一部分與GAN（Generative Adversarial Networks）相關，但是一直不work，因此準備重新從最簡單的GAN入手，實現一下試試看能不能發現什麼問題。     本文會用GAN從標準正態噪聲生成均值為3.5，標準差為0.7的正態

R語言：生成正態分佈資料生成--rnorm,dnorm,pnorm,qnorm

norm是正態分佈，前面加r表示生成隨機正態分佈的序列，其中rnorm(10)表示產生10個數；給定正太分佈的均值和方差， Density(d), distribution function§, quantile function(q) and random® generation

教你用MSChart控制元件繪製正態分佈圖形

一年多的“潛伏”也算是深資“特務”了，長時間看別人的部落格，自己卻沒有寫點東東，對不起那些園中勞碌的人。今天終於可以“洗牌”了做正常勞苦大眾。那也得感謝是專案交付期，有了“空擋”可以寫點什麼，讓大家拍磚。       今天主講是的繪製正態分佈圖形所用的質量指標公式的，不

java隨機數產生- 正態分佈

正態分佈 java.util.Random裡的nextGaussian()，生成的數值符合均值為0方差為1的高斯/正態分佈，即符合標準正態分佈。 產生數字的範圍：任何數都有可能，不過在0左右的數字較多。 產生N(a,b)的數：Math.sqrt(b)*random.next

java生成正態分佈方法

public double normalRandom3(double a, double b) {double f = 0;double c0 = 2.515517, c1 = 0.802853, c2 = 0.010328;double d1 = 1.432788, d2 = 0.189269, d3 =

從二項分佈到泊松分佈再到正態分佈

如果忽略分佈是離散還是連續的前提（二項分佈和泊松分佈一樣都是離散型概率分佈，正態分佈是連續型概率分佈），二項分佈與泊松分佈以及正態分佈至少在形狀上是十分接近的，也即兩邊低中部高。 由從 Poisson

幾種分佈概述（正態分佈/卡方分佈/F分佈/T分佈）

       搞清楚了下面的幾種分佈，在置信區間估計、顯著性檢驗等問題中就會收到事半功倍的效果。come on~！       正態分佈：正態分佈（Normal distribution）又名高斯分佈（Gaussiandistribution），若隨機變數X服從一個數學期望為

一種用C++自帶的類生成服從正態分佈的隨機數。

今天寫關於深度學習的程式碼時，裡面要用服從標準正態分佈的隨機數初始化權值，就是matlab裡面那個randn函式，網上找了很多方法，最後發現C++本身就有自帶的方法生成服從正態分佈的隨機數序列。下面給出C++程式碼： C++程式碼： #include &

python+numpy 隨機數的生成，正態分佈，0-1分佈，均勻分佈及隨機數種子

#! usr/bin/env python # coding: utf-8 # 使用numpy中的隨機函式 學習筆記 # 2018年06月04日11:38:43 北京昌平 import numpy.matlib import numpy as np # 說明,每塊程

np.random.rand均勻分佈隨機數和np.random.randn正態分佈隨機數函式使用方法

np.random.rand用法 覺得有用的話,歡迎一起討論相互學習~Follow Me 生成特定形狀下[0,1)下的均勻分佈隨機數 np.random.rand(a1,a2,a3…)生成形狀為(a1,a2,a3…),[0,1)之間的 均勻分佈 隨機數 np

PyTorch 生成隨機數Tensor（標準分佈、標準正態、離散正態……)

在使用PyTorch做實驗時經常會用到生成隨機數Tensor的方法，比如： torch.rand() torch.randn() torch.normal() torch.linespace() 均勻分佈 *torch.rand(sizes, out=None) → Tensor

C++生成隨機數：高斯/正態分佈（gaussian/normal distribution）

常用的成熟的生成高斯分佈隨機數序列的方法由Marsaglia和Bray在1964年提出，C++版本如下： #include <stdlib.h> #include <math.h> double gaussrand() { static double V1, V2, S

Matlab中產生正態分佈隨機數的函式normrnd-----用來產生高斯隨機矩陣

   >> help normrnd NORMRND Random arrays from the normal distribution. R = NORMRND(MU,SIGMA) returns an array of random numbers chosen from a normal

正態分佈隨機數生成演算法

最近在學習基於蒙特卡羅的強化學習方法時遇到 生成服從正態分佈的隨機數的演算法，因此做一個回顧和總結。要程式設計得到服從均勻分佈的偽隨機數是容易的，C、Python、Java語言等都提供了相應的函式。但是要想生成服從正態分佈的隨機數就沒那麼容易了，生成服從正態分佈的隨機數的基本

用C語言程式生成符合正態分佈的隨機數列

一般有兩種演算法：       演算法一產生12個（0，1）平均分佈的隨機函式，用大數定理可以模擬出正態分佈。       演算法二用到了數學中的雅可比變換，直接生成正態分佈，但此演算法在計算很大規模的數時       會出現溢位錯誤。       測試程式：       #include    <ma

C產生正態分佈隨機數寫入檔案並讀出後用快速排序法排序

基於快速排序法的正態隨機數排序 使用中心極限定理產生正態分佈隨機數 使用快速排序法進行排序 讀寫資料到記事本 程式計時 #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <mat

正態分佈可以生成均勻分佈嗎?

通過演算法生成的隨機數是“偽隨機”的，也就是說，在設定好第一個數之後，後面的數字的序列是確定的，並且經過一個非常大的迴圈會回到第一個數的狀態，然後周而復始。顯然，搖號、抽獎的程式是不能通過偽隨機數來實現的。現實中常常基於某種熱噪聲來實現真正的隨機數。假定某熱噪聲是標準正態分

均勻分佈生成標準正態分佈 python

    一個分佈的隨機變數可通過把服從(0,1)均勻分佈的隨機變數代入該分佈的反函式的方法得到。均勻分佈的反函式卻求不了。所以我們就要尋找其他的辦法。     由均勻分佈生成標準正態分佈主要有3種方法

課堂練習--計算陣列的最大值，最小值，平均值，標準差，中位數；numpy.random模組提供了產生各種分佈隨機數的陣列；正態分佈；Matplotlib

#計算陣列的最大值，最小值，平均值，標準差，中位數 import numpy as np a=np.array([1, 4, 2, 5, 3, 7, 9, 0]) print(a) a1=np.max(a) #最大值 print(a1) a2=np.min(a) #最小值 print(a2) a3