戰場的數目

在上題中，假設戰場的圖形周長為p，一共有多少種可能的戰場？

例如，p<8時沒有符合要求的戰場，p=8時有2種戰場：

p=10有9種戰場：

要求輸出方案總數模987654321的值。

7

8

9

10

0

0

2

0

9

無

想法：

看了別人程式碼，思考許久。

戰場的定義比較趨近於俄羅斯方塊，及不能有懸空的塊；每個塊下面必須為底或者是另一個塊，並且這些塊不能構成一個矩形。

直接入手比較麻煩。

很顯然的就是高就是最高的塊所在的層數，寬也是最後一層的寬度。

分情況討論一下，顯然只有p為偶數的時候才可能有答案，奇數一定無解。

1.如果左/右只有一邊存在一個單獨的塊。

這樣刪掉這個塊將會得到周長為p−2時的一種方案。

2.如果左/右都不存在單獨一個塊。

這樣無法通過刪單個塊得到一種周長為p−2的方案，但是，可以通過去掉最後一層得到一種周長為p−2的方案。

3.如果左/右都存在一個單獨的塊。

這種方案，會在情況1中額外統計，所以要減去，而這樣的方案數則對應是周長為p−4時的方案。

然後就可以得到遞推式f(p) = 3*f(p - 2) - f(p - 4) （p>4)

然後這個顯然是可以矩陣乘法優化的，不過這樣會產生一些不必要的記憶體，所以我們把p=p/2然後就可以得到

f[p]=3∗f[p−1]−f[p−2]

這樣得到的答案，是滿足的情況，是包含正好組成矩形的情況的，所以我們在最後把它減去即可。

又易知P=4時，有1種，P=6時，有2種，P=8時，有5種

發現f【p】為第（p-4+1）個斐波拉契數

程式碼：

#include <stdio.h> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const ll mod=987654321; ll A[2][2],B[2][2],T[2][2]; void pow(int n)//求第n+1個的斐波拉契數 {     if(n==0)     {         //for(int i=0;i<2;i++)             //for(int j=0;j<2;j++)                // B[i][j]=(i==j);         B[0][0]=1;B[0][1]=0;B[1][0]=0;B[1][1]=1;         return;     }     if(n&1)     {         pow(n-1);         for(int i=0;i<2;i++)             for(int j=0;j<2;j++)             {                 T[i][j]=0;                     for(int k=0;k<2;k++)                         T[i][j]=(T[i][j]+A[i][k]*B[k][j])%mod;             }        for(int i=0;i<2;i++)             for(int j=0;j<2;j++)             {                 B[i][j]=T[i][j];             }     }     else     {         pow(n/2);         for(int i=0;i<2;i++)             for(int j=0;j<2;j++)             {                 T[i][j]=0;                 for(int k=0;k<2;k++)                     T[i][j]=(T[i][j]+B[i][k]*B[k][j])%mod;             }        for(int i=0;i<2;i++)           for(int j=0;j<2;j++)             {                 B[i][j]=T[i][j];             }     } } int main() {   int n;   A[0][0]=1; A[0][1]=1;   A[1][0]=1; A[1][1]=0;   while (scanf("%d", &n)== 1 && n)   {     ll ans=0;     if(n&1)         ans=0;     else if(n<4) ans=0;     else     {         pow(n-4);//求出B【0】【0】為周長為n的個數         ans=B[0][0]-(n/2-1);//減去矩形個數         ans%=mod;         if(ans<0) ans+=mod;     }     //printf("%lld\n",B[0][0]);     printf("%lld\n",ans);   }   return 0; }