九章演算法官網-原文網址

題目

有一副撲克有2n張牌，用1,2,..2*n代表每一張牌，一次洗牌會把牌分成兩堆，1,2..n和n+1...2n。然後再交叉的洗在一起：n+1, 1, n+2, 2, … n, 2n。問按照這種技巧洗牌，洗多少次能夠洗回撲克最初的狀態：1,2,...2n。

解答

以1 2 3 4 5 6為例，洗一次之後為4 1 5 2 6 3 。將兩排陣列對比看：

1 2 3 4 5 6

4 1 5 2 6 3

數字1的下面是4，代表每一次洗牌後1這個位置的數會被4這個位置的數替代，接著看數字4，4下面是2，代表每一次洗牌後4這個位置的數會被2替代，再看2，2下面是1，2這個位置的數字會被1替代。此時，1 4 2形成一個環，代表這三個位置上的數再每一次洗牌後，迴圈交替，並且在洗3次以後，各自回到最初的位置。用同樣的方法可以找到3 5 6是一個迴圈，迴圈節長度為3。由此可以知道，在經過了LCM(3,3)=3次洗牌後，所有數都回到原位，這裡LCM是最小公倍數的意思。於是演算法為，根據一次洗牌的結果，找到所有的迴圈節，答案為所有迴圈節長度的最小公倍數。

面試官角度

這個題目的考察點在於找規律。不過如果有一定置換群的理論基礎的同學，是可以比較輕鬆的解決這個問題的。有興趣的同學可以檢視離散數學的相關書籍中置換群的知識點。