[整理]擴充套件尤拉定理證明

阿新 • • 發佈：2019-01-15

需要證明 $a^{x} \equiv a^{x mod φ (m) + φ (m)} (\mod m)$ ，其中 $a$ 為任意整數， $m, x$ 為正整數，且 $x \geq φ (m)$

引理1：

{\begin{matrix} x \equiv y (\mod m_{1}) \\ x \equiv y (\mod m_{2}) \end{matrix} ⟹ x \equiv y (\mod l c m (m_{1}, m_{2}))

理解：

${\begin{matrix} x \equiv y (\mod m_{1}) \\ x \equiv y (\mod m_{2}) \end{matrix} ⟹ {\begin{matrix} m_{1} | x - y \\ m_{2} | x - y \end{matrix}$
對 $m_{1}, m_{2}$ 標準分解： $m_{1} = A * {p_{1}}^{q_{a_{1}}} {p_{2}}^{q_{a_{2}}} \dots {p_{n}}^{q_{a_{n}}}$

1p2qa2⋯pnqan

m_{2} = B * {p_{1}}^{q_{b_{1}}} {p_{2}}^{q_{b_{2}}} \dots {p_{n}}^{q_{b_{n}}}

因為 $x - y$ 又是 $m_{1}$ 的倍數，又是 $m_{2}$ 的倍數，所以 $x - y = C * A * B * {p_{1}}^{m a x (q_{a_{1}}, q_{b_{1}})} {p_{2}}^{m a x (q_{a_{2}}, q_{b_{2}})} \dots {p_{n}}^{m a x (q_{a_{n}}, q_{b_{n}})}$

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