問題：形如a*x+b*y=c(a,b均不為0)的方程，a,b,c都是整數，求(x,y)整數解。

判斷是否有解

整數二元一次方程有解的充要條件是gcd(a,b)|c。如果不能整除則無解。

擴充套件歐幾里得演算法

歐幾里得演算法就是求出a*x+b*y=gcd(a,b)的一個解（特解）

程式碼如下：

int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0) {x=1;y=0;return a;}
    int d=ex_gcd(b,a%b,x,y);//求出a,b的最大公約數
    int tmp=x;x=y;y=tmp-a/b*y
 
;
    return d;
}

關於上述遞迴函式中x,y變化情況證明推導如下（參考本篇文章）：
由歐幾里德演算法gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，所以a*x1+b*y1=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=b*x2+(a%b)y2，現在只要做一些變形就可以得到擴充套件歐幾里德演算法中的用到的式子了。令k=a/b(商)，r=a%b(餘數)，那麼a=k*b+r。所以r=a-k*b，帶入上式，得到a*x1+b*y1=b*x2+(a-(a/b)*b)y2=a*y2+b(x2-(a/b)*y2) => x1=y2，y1=x2-(a/b)*y2。有了這兩個式子我們就知道了在用歐幾里德求最大公約數的時候，相應的引數x，y的變化。現在再回過頭來看一下擴充套件歐幾里德演算法的程式碼就很好理解了，實際上擴充套件歐幾里德就是在求a和b的最大公約數的同時，也將滿足方程a*x1+b*y1=gcd(a,b)的一組x1和y1的值求了出來。

下面是《演算法競賽入門經典》（第2版）上的擴充套件歐幾里得演算法程式碼的解釋：

void gcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y){
    if(b==0){x=1;y=0;d=a;}
    else{
        gcd(b,a%b,d,y,x);//注意這裡x,y互相交換了一下
        y-=a/b*x;//這裡是在x,y互相交換的基礎上對y=tmp-a/b*y的改進
    }
}

通解

a*x+b*y=gcd(a,b)在有解並求出特解(x,y)的情況下，通解可以表示為
x’=x+b/gcd(a,b)*t;
y’=y-a/gcd(a,b)*t;
對於一般式a*x+b*y=c，如果有解，只需要把a*x+b*y=gcd(a,b)的特解乘上c/gcd(a,b)即可得到其特解，通解還是一樣的公式。

【例項程式碼】

#include<iostream>

using namespace std;

int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0) {x=1;y=0;return a;}
    int d=ex_gcd(b,a%b,x,y);//求出a,b的最大公約數
    int tmp=x;x=y;y=tmp-a/b*y;
    return d;
}

int main()
{
    int a,b,c,x,y,d;
    cin>>a>>b>>c;
    d=ex_gcd(a,b,x,y);
    if(c%d!=0) cout<<"No solution!"<<endl;
    else{
        cout<<"特解： ";
        cout<<"x="<<c/d*x<<", y="<<c/d*y<<endl;
        cout<<"其他一個解： ";
        cout<<"x="<<c/d*x+(b/d*c)/(d*c/d)<<", y="<<c/d*y-(a/d*c)/(d*c/d)<<endl;
    }
    return 0;
}