初步介紹

監督式學習: 給定資料集並且知道其正確的輸出應該是怎麼樣的，即有反饋（feedback），分為

• 迴歸 （Regressioin）: map輸入到連續的輸出值。
• 分類 （Classification）：map輸出到離散的輸出值。

非監督式學習: 給定資料集，並不知道其正確的輸出是什麼，沒有反饋，分為

• 聚類（Clustering）： Examples: Google News, Computer Clustering, Markert Segmentation.
• 關聯（Associative）：Examples: 根據病人特徵估算其病症.

一元線性迴歸

假設（Hypothesis）：$h_\theta(x)=\theta_0+\theta_1 x$

引數（Parameters）：$\theta_0, \theta_1$

代價函式（Cost Function）：$J(\theta_0, \theta_1) = \frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}\left(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}\right)^2$，最小二乘法

目標函式（Goal）: $\min\limits_{\theta_0, \theta_1}J(\theta_0, \theta_1)$

梯度下降演算法（Gradient descent）

基本思想：

• 初始化$\theta_0, \theta_1$
• 調整$\theta_0, \theta_1$直到$J(\theta_0, \theta_1)$達到最小值, 更新公式($\theta_j = \theta_j - \alpha\frac{\partial}{\partial \theta_j}J(\theta_0, \theta_1)$)

對於一元線性迴歸問題，對$J(\theta_0, \theta_1)$求偏導數可得
$$\frac{\partial J}{\partial \theta_0} = \frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}2\times\left(\theta_0 + \theta_1x^{(i)} - y^{(i)} \right) = \frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}\left( h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)} \right)$$
$$\frac{\partial J}{\partial \theta_1} = \frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}2\times\left(\theta_0 + \theta_1x^{(i)} - y^{(i)} \right)x^{(i)} = \frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}\left( h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)} \right)x^{(i)}$$
從而引數$\theta_0, \theta_1$的更新公式為
$$\theta_0 = \theta_0 - \alpha\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}\left( h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)} \right)$$
$$\theta_1 = \theta_1 - \alpha\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}\left( h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)} \right)x^{(i)}$$
其中$\alpha$稱為學習速率（learning rate），如果其太小，則演算法收斂速度太慢；反之，如果太大，則演算法可能會錯過最小值，甚至不收斂。另一個需要注意的問題是，上面$\theta_0, \theta_1$的更新公式用到了資料集的全部資料 （稱為“Batch” Gradient Descent），這意味著對於每一次 update ，我們必須掃描整個資料集，會導致更新速度過慢。

線性代數複習

• 矩陣和向量定義
• 矩陣加法和數乘
• 矩陣-向量乘積
• 矩陣-矩陣乘積
• 矩陣乘法的性質：結合律，交換律不成立
• 矩陣的逆和轉置：不存在逆元的矩陣稱為“奇異（singular）矩陣”

參考文獻

[1] Andrew Ng Coursera 公開課第一週