橢圓曲線演算法

橢圓曲線密碼體制來源於對橢圓曲線的研究,所謂橢圓曲線指的是由韋爾斯特拉斯(Weierstrass)方程:
y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6 (1)
所確定的平面曲線。其中係數ai(I=1,2,…,6)定義在某個域上,可以是有理數域、實數域、複數域,還可以是有限域GF(pr),橢圓曲線密碼體制中用到的橢圓曲線都是定義在有限域上的。
橢圓曲線上所有的點外加一個叫做無窮遠點的特殊點構成的集合連同一個定義的加法運算構成一個Abel群。在等式
mP=P+P+…+P=Q (2)
中,已知m和點P求點Q比較容易,反之已知點Q和點P求m卻是相當困難的,這個問題稱為橢圓曲線上點群的離散對數問題。橢圓曲線密碼體制正是利用這個困難問題設計而來。

公鑰演算法是基於數學函式(如單向陷門函式),公鑰密碼體制根據其所依據的難題一般分為三類:大整數分解問題類、離散對數問題類、橢圓曲線類。

本文是在素域Zp上的,以Menezes-Vanstone形式的橢圓加密演算法。

在素域上的曲線函式為

y^2 = x ^ 3 +a*  x + b      a,b為小於p的非負數,且 4*a^3+ 27*b^2 != 0

對於在素域上的加法中,對於所有的點P,Q 屬於E(Zp),有加法規則:

1。P + O = O + P = P ,P + (-P) = O;

O為橢圓曲線上的零點或者稱為無限遠的點,但是O在橢圓曲線的加法域上。

2.加法的分配率和結合律,對於s,t 屬於Zp,有(s + t )* P = s * P + t* P;

3.對於 P = (x1,y1),Q = (x2,y2) ,並且 P != - Q,則P + Q=(x3,y3),

x3 = k^2 - x1 -x2;

y3 = k*(x1-x3) - y1;

k = (y2-y1)/(x2-x1)   if P != Q;

k = (3x1^2 + a)/(2*y1) if P == Q;

橢圓曲線在素域上的運算用到除法,而在除法的規則是a / b = c mod p 即計算 a x b^-1 = c mod p ,其中 b^-1為b的乘法逆元, 即 b x b^-1 = 1 mod p。對於乘法逆元,當b與p互素時,存在唯一解,而這裡p是一個素數,且b不可能為1,則肯定有解。對於求乘法逆元,一般使用歐幾里德演算法,如下:

int getX_1(int x,int mod){
	int Q,X1,X2,X3,Y1,Y2,Y3,T1,T2,T3;
	X1 = 1;
	X2 = 0;
	X3 = mod;
	Y1 = 0;
	Y2 = 1;
	Y3 = (x%mod + mod) %mod;//獲得正整數
	while(Y3 != 1){ 
		Q = X3 / Y3;
		T1 = X1 - Q * Y1;
		T2 = X2 - Q * Y2;
		T3 = X3 - Q * Y3;
		X1 = Y1;
		X2 = Y2;
		X3 = Y3;
		Y1 = T1;
		Y2 = T2;
		Y3 = T3;
	}
	return Y2;
}


乘法運算規則:
1. 對於任意 k 屬於 Zp,有 k * P = P + ..... + P (k個P相加)
2. 對於任意 s,t 屬於 Zp,有 s *(t *P) = (s*t)*P

對於Menezes-Vanstone的橢圓加密演算法:
1. 產生金鑰,
任選一個整數k ,0<k<p ,為私鑰,在曲線上任選一點 A ,並計算 B = k*A ,公鑰為(A,,B)。其中又可稱A為基鑰,對於最小整數n以使 n* A = O ,則n稱為週期,要是週期為素數,且為一個較大值才合理。
2.加密過程:
令明文為 M = (m1,m2),M可以不是曲線E上的點。計算得到密文(C1,C2),其中任選一個數屬於Zp:
C1 = r * A;;
Y= (y1,y2) = r * B;
C2 = (C21,C22) = (y1 * m1 mod p,y2* m2 mod p)
3 解密過程;
計算Z = (z1,z2) = k*C1;計算明文 M = (C21 * z1^-1 mod p, C22 * z2 ^ -1 mod p).

c++中的模運算,當有負數存在時無法達到正確結果,簡直是坑,如 -1 % 2,在使用vs2012進行測試,會返回-1,而不是1. c++中模運算結果的符號和被除數的符號一致。
引數選取:選取 p = 127,曲線函式為: y^2 = x^3 + 5* x + 37, a = 5 ,b= 37, r = 7.選取私鑰 k = 9選取一個點A為(11,4)則 B = k*A = (120,41)
則原始碼如下,這裡直接對char進行加密,效果不佳

#include "stdafx.h"
#include <string>
#include <iostream>
using namespace std;
const int k = 9;
const int a = 5;
const int b = 37;
const int p = 127;
const int r =7;

int getX_1(int x,int mod){
	int Q,X1,X2,X3,Y1,Y2,Y3,T1,T2,T3;
	X1 = 1;
	X2 = 0;
	X3 = mod;
	Y1 = 0;
	Y2 = 1;
	Y3 = (x%mod + mod) %mod;//獲得正整數
	while(Y3 != 1){ 
		Q = X3 / Y3;
		T1 = X1 - Q * Y1;
		T2 = X2 - Q * Y2;
		T3 = X3 - Q * Y3;
		X1 = Y1;
		X2 = Y2;
		X3 = Y3;
		Y1 = T1;
		Y2 = T2;
		Y3 = T3;
	}
	return Y2;
}//獲得其乘法逆元

struct point{
	int x;
	int y;
};
point A,B;//公鑰
typedef pair<point,point> twopoint;
bool operator == (point pa,point pb){
	return pa.x == pb.x && pa.y == pb.y;
}
point operator + (point pa , point pb){
	int k;
	
	if(pa == pb)
		k = ((3 * pa.x * pa.x + a) * getX_1(2* pa.y ,p)) % p ;//必須使用正整數。這裡pa.y的值不能取0.
	//當取0時,這就不能進行這個計算了,因為 pa = -pb了,則,應該進行一個判斷。但是,這樣的結果是 O,是不在橢圓曲線上的,不能進行輸出的值。
	//這裡是有一個週期數在,對於容易一個基值的也就是先給出的A來說,它有一個週期n,使nA = O,而這裡所有引數的選取值
	//都小於n,使其不會達到O,保證了不會出錯,應該是這樣吧。。。
	else
		k = (pb.y - pa.y) * getX_1(pb.x - pa.x , p) %p;
		point c;
		c.x = (k*k - pa.x -pb.x) %p;
		c.y = (k * (pa.x - c.x) - pa.y)%p ;
		c.x = (c.x + p) %p; 
		c.y = (c.y + p) %p; 
		
		return c;
}
point operator * (point &b,int n){
		point q = b;
		n = n -1;
		for(int i = 1 ; i < n;i++){
			q = q + b ;
		}
		return q;
}
twopoint ECodePoint(point m){
	point c1,c2;
	c1 = A * r ;
	point Y = B * r ;
	c2.x = Y.x * m.x % p ;
	c2.y = Y.y * m.y % p ;
	return twopoint(c1,c2);
}
point DCodePoint(twopoint t){
	point Z = t.first * k;
	point m;
	m.x = t.second.x * getX_1(Z.x,p) % p ;
	m.y = t.second.y * getX_1(Z.y,p) % p ;
	return m;
}
string ECode(string input){//明文的輸入是一個string型別,但是單個的操作應該是對單個的字元char轉換成的int型別進行計算
	string output = "";
	point M;
	twopoint C;
	for(int i =0; i < input.length();i++){
		M.x = i;
		M.y = input[i];
		C = ECodePoint(M);
		output += (char)C.first.x ;
		output += (char)C.first.y ;
		output += (char)C.second.x ;
		output += (char)C.second.y ;
	}

	return output;
}
string DCode(string input){
	string output = "";
	point M;
	twopoint C;
	if(input.length()%4 != 0)
		return "錯誤輸入";//因為密文肯定是4的倍數,如果不是,肯定出錯了。
	for(int i = 0;i < input.length();){
		C.first.x = input[i++];
		C.first.y = input[i++];
		C.second.x = input[i++];
		C.second.y = input[i++];
		M = DCodePoint(C);
		output += (char)M.y;
	}
	return output;
}

int main()
{
	A.x = 11;
	A.y = 4;
	B = A*k;
	string s = "";
	//加密簡單,隨便輸入點東西就可以加密了,但是解密不行啊,隨便輸入肯定是錯誤的結果,
	//程式肯定會出錯,所以,只支援對之前加密的結果進行解密。
	cout<<"使用在素域上的曲線 y^2 = x^3 + 5*x +37   ,使用Menezes-Vanstone的演算法:"<<endl;
	cout<<"在素域p=127上,私鑰為k=9,公鑰A(11,4),B(120,41),對明文字串直接轉換為int進行加密"<<endl;
	cout<<"請輸入要加密的內容:"<<endl;
	cin>>s;
	cout<<"密文如下:"<<"\r\n";
	s = ECode(s);
	cout<<s<<endl;
	cout<<"對之前密文解密,得到明文如下(由於輸入密文不正確絕對會使這個程式出錯,所以只能解密絕對安全的密文):"<<"\r\n";
	s = DCode(s);
	cout<<s<<"\r\n"<<"完成"<<endl;
	cin>>s;
	return 0;
}

.