【專題】歐幾里得演算法、擴充套件歐幾里得、乘法逆元
１．歐幾里得
- 用途
最大公因數和最小公倍數 定理：
gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
證明：
我們令c=gcd(a,b)
令a=n∗c ,b=m∗c
a%b=a−k∗b=（n−m∗k）∗c ，可知，c也是a%b 的因子,現在只需證明c是b和a%b的最大因子，用反證法：
假設gcd(b,a%b)=d>c
設b=n1∗d ，a%b=m1∗d
可推出a=m1∗d+k1∗b=m1∗d+k1∗n1∗d
從而推出gcd(a,b)=d
矛盾
證明完畢程式碼
int gcd(int a,int b)
{
return b==0 ? a : gcd(b,a%b 2.擴充套件歐幾里得演算法
擴充套件歐幾里得定理
對於不完全為0的非負整數a，b，gcd(a, b)表示a, b的最大公約數，必定存在整數對x，y，滿足a∗x+b∗y==gcd(a,b) 。用途
求出整數x,y使得a∗x+b∗y=gcd(a,b) 應用
擴充套件歐幾里得主要有三個應用：- 求解不定方程
- 求解模的逆元
- 求解同餘方程
- 證明
由於gcd（a，b）=gcd（b，a%b）
所以b∗x1+(a%b)∗y1=gcd(a,b)
a%b=a−(a/b)∗b
所以gcd(a,b)=b∗x1+(a−(a/b)∗b)∗y1
=b∗x1+a∗y1–(a/b)∗b∗y1
= a∗y1+b∗(x1–a/b∗y1)
對於我們所求的x，y使得ax+by=gcd(a,b)
則有x=y1
y=x1–a/b∗y1 - 程式碼
int Exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
int ans=Exgcd(b,a%b,x,y);
int temp=x;
x=y;
y-temp-a/b*y;
return ans;
} 3.乘法逆元
定義：
b∗b1≡1(modc) ，那麼稱b1 為b模c的乘法逆元。定理：
ab(modc)=a∗b1(modc) ,條件是b1 存在（或b與c互質）。用途
乘法逆元可以用來求解部分除法的取模問題（分母是一個整數，並且與被取模數互質）
知道了乘法逆元的用途之後關鍵是怎麼求出乘法逆元
①歐幾里得演算法
就是求gcd的有趣的輾轉相除法，不再贅述啦0v0
程式碼：
int gcd(int a,int b)
{
if(b==0)
return a;
else return gcd(b,a%b);
}
②擴充套件歐幾里得演算法
需要解決這樣的問題：兩個非0整數a，b
最大公約數/歐幾里德演算法（gcd）
歐幾里德演算法又稱輾轉相除法，證明可以度娘。
個人簡單腦部就是a和b兩個數的模還是a和b的最大公約數
int型別
int gcd(int a, int b) {return a%b==0?b:gcd(b,a%b);}
long l
歐幾里得演算法：
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
/*
* 挑戰。。。p113
*/
struct point{ //格點
於是，我們在完成神奇的前兩步之後，來到了這個神奇的地方——歐幾里得演算法和擴充套件歐幾里得演算法。
那麼，這是用來幹什麼的演算法呢？
算最大公約數（GCD）~~~
好吧，考慮到有一些同學可能還不知道這是怎樣一種神奇的東西，那麼我就把這個東西的定義放到下面來
這個應該是我在noip前就應該會的東西 ，但是當時也許只是記下了程式碼吧 ，現在有諸多的不理解。後來藉著書和幾篇部落格弄懂了並小證了一下，鑑於網上有些部落格關於這個的寫的真的不好看，所以自己來總結一下，順帶以後也能看。
順帶一提，gcd(a,b)表示a,b的最
１．歐幾里得
用途
最大公因數和最小公倍數
定理：
gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
證明：
我們令c=gcd(a,b)
令a=n∗c , b=m∗c
a%b=a−k
1.+，-，*都可以直接取模，但是除法不可以（模素數相當於換了數域，因為數域變成了有限域，有限域上沒有除法，要換成乘以逆元）。
2.除法取模要變成乘它的逆元。 a * x MOD m == 1則稱X為A關於模m的乘法逆元,其中a和m必須互素。
3.當m為素數時可以使用
乘法逆元
何為乘法逆元？
對於兩個數a,pa,p若gcd(a,p)=1gcd(a,p)=1則一定存在另一個數bb，使得ab≡1(modp)ab≡1(modp)，並稱此時的bb為aa關於11模pp的乘法逆元。我們記此時的bb為inv(a)inv(a)或a−1a
eg：求5關於模14的乘法逆元
15 = 5*2+1
5 = 4*1+1
說明5與14互素，存在5關於14的乘法逆元
1 = 5-4 = 5-（14-5*2）= 5*3-14
因此5關於模14的乘法逆元為3
a存在模b的乘法逆元的充要條件是gcd（a,b）= 1
互質
encryption-algorithm
各種密碼學演算法的 C# GUI程式設計實現，包含：
DES
AES
Present
擴充套件歐幾里得演算法
素性檢測
最終的結果
DES加密
DES解密
知識點：乘法逆元，逆元的求法，二元一次方程求通解，a的n次方求餘數
一，乘法逆元
乘法逆元的概念類似於倒數（ax=1,a−1=x），不過是在取餘數的情況下的倒數。
如果(a×x)%p=1，則稱x是a模p的逆元。另一種記法：ax=1(modp)，即等
參考資料：
本文證明過程來自百度百科和劉汝佳的演算法入門經典。
擴充套件歐幾里得演算法介紹:
前置知識：歐幾里得演算法（其實就是輾轉相除法，用於計算兩個整數a,b的最大公約數。）
歐幾里得演算法：
在開始之前，我們先說明幾個定理：
gcd(a,b)=gcd(b,a
歐幾里得演算法
百度一下
人物介紹
在歐幾里得著的《幾何原本》裡面，有用線段的劃分來講解這個數學方法的，這裡我們從代數而不是幾何上來講，並且側重於演算法OI競賽。
歐幾里得演算法（gcdgcdgcd），又稱輾轉相除法，可以用來快速計算兩個整數的最大公
密碼學課本里面使用到的一個十分簡單的演算法，老師佈置的作業，就寫了一下...程式碼挺腦殘的，只要知道演算法的步驟，很好實現。
程式碼：
#include<iostream>
using namespace std;
int a[3][3];
int coun
一、歐幾里得演算法歐幾里得演算法又稱輾轉相除法，是指用於計算兩個正整數a,b的最大公約數。gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)。演算法描述:1. 輸入：兩個非負整數a,b，且a≥b。2. 輸出
思路1：把k*M%N=1可以寫成一個不定方程，(k*M)%N=(N*x+1)%N，那麼就是求k*M-N*x=1使得k最小，不定方程利用擴充套件歐幾里得演算法
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1256 乘法逆元
基準時間限制：1 秒 空間限制：131072 KB 分值: 0 難度：基礎題
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給出2個數M和N(M < N)，且M與N互質，找出一個數K滿足0 < K < N且K * M % N = 1，如果有多個滿足條件的，輸出最小的。
給出2個數M和N(M < N)，且M與N互質，找出一個數K滿足0 < K < N且K * M % N = 1，如果有多個滿足條件的，輸出最小的。
輸入
輸入2個數M, N中間用空格分
題意
求a*x ≡ 1（mod m），求最小的正整數 x ，如果沒有解輸出 “Not Exist”。
思路
求乘法逆元。a*x ≡ 1（mod m）轉化為 ，求最小的正！整數 x 。
#
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給出2個數M和N(M < N)，且M與N互質，找出一個數K滿足0 < K < N且K * M % N = 1，如果有多個滿足條件的，輸出最小的。
Inp
=>
所以問題就變成了用擴充套件歐幾里得的求相關推薦
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