歐幾里得演算法

function Euclid(a; b)
1: if b = 0 then
2: return a;
3: end if
4: return Euclid(b; a mod b);

複雜度分析：
設a>=b$a>=b$，則有amodb<a2$a\mathrm{mod}b<\frac{a}{2}$
證明:
假設 a=bq+r$a=bq+r$，其中 q>=1$q>=1$，且0<=r<b$0<=r<b$,
則有：
r=a−bq<b$r=a-bq<b$
因此：
a<b+bq$a<b+bq$ 即 ==> a<b(1+q)$a<b(1+$

==> a1+q−b<0$\frac{a}{1+q}-b<0$
==>aq1+q−bq<0$\frac{aq}{1+q}-bq<0$
==>aq1+q+a1+q−bq<a1+q$\frac{aq}{1+q}+\frac{a}{1+q}-bq<\frac{a}{1+q}$
===> a−bq<a1+q$a-bq<\frac{a}{1+q}$
因為a>=b$a>=b$，所以有q>=1$q>=1$,於是：a1+q<=a1+1$\frac{a}{1+q}<=\frac{a}{1+1}$
所以有：a−bq<a1+q<=a2$a-bq<\frac{a}{1+q}<=\frac{a}{2}$
即：amod