中國剩餘定理

問題

求同餘方程組

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x≡c1(modm1)x≡c2(modm2)x≡c3(modm3)...x≡ck(modmk)$$\{\begin{array}{c}x\equiv c_1(\mathrm{mod}{m}_1)\\ x\equiv c_2(\mathrm{mod}{m}_2)\\ x\equiv c_3(\mathrm{mod}{m}_3)\\ ...\\ x\equiv c_k(\mathrm{mod}{m}_k)\end{array}$$
其中滿足(mi,mj)=1,1<=i≠j<=k$(m_i,m_j)=1,1<=i\ne j<=k$
x的最小正（非負）整數解

結論

令M=m1∗m2∗m3∗...∗mk$M=m_1\ast m_2\ast m_3\ast ...\ast m_k$
則x=(∑i=1kci∗Mmi∗inv(Mmi,mi))%M$x=(\sum _{i=1}^k{c}_i\ast \frac{M}{m_i}\ast inv(\frac{M}{m_i},$

mi))%M

證明

a.在模M意義下x只有唯一解 （有多解那還了得）
b.令ni$n_i$滿足ni%Mmi=0$n_i\mathrm{\%}\frac{M}{m_i}=0$且ni%mi=1$n_i\mathrm{\%}{m}_i=1$，則N=∑i=1kci∗ni$N=\sum _{i=1}^k{c}_i\ast n_i$為原問題的一個解
c.根據上面的式子容易得出ni=Mmix,ni=miy+1$n_i=\frac{M}{m_i}x,n_i=m_{i}y+1$，則Mmix=miy+1$\frac{M}{m_i}x=m_{i}y+1$，即Mmix−miy=1$\frac{M}{m_i}x-m_{i}y=1$
d.由於mi$m_i$兩兩互質，所以Mmi$\frac{M}{m_i}$與mi$m_i$也互質，令a=Mmi,b=mi$a=\frac{M}{m_i},b=m_i$，則ax−by=1$ax-by=1$
e.可以發現我們已經將其化簡成擴充套件歐幾里得的基本形式

ax

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