正態分佈

定義

正態分佈（英語：normal distribution）又名高斯分佈（英語：Gaussian distribution），是一個非常常見的連續概率分佈。正態分佈在統計學上十分重要，經常用在自然和社會科學來代表一個不明的隨機變數。

也就是說，正態分佈一種分佈形式，它實際上有很多表示形式，最常見的有概率密度函式，累計分佈函式等等來表示。

在OI界出過的也僅有概率密度函式因為其他的我沒聽說過

概率密度公式

設期望為$\mu$，方差為$\sigma$

則有$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e ^ {-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}$

$f(x)$表示該點出現的概率

如果一個隨機變數$X$服從這個分佈，我們寫作$X \sim N(\mu, \sigma)$

特殊的，如果$\mu = 0, \sigma = 1$，這個分佈被稱為標準正態分佈

中心極限定理

簡介

中心極限定理是概率論中的一組定理。中心極限定理說明，在適當的條件下，大量相互獨立隨機變數的均值經適當標準化後依分佈收斂於正態分佈。這組定理是數理統計學和誤差分析的理論基礎，指出了大量隨機變數之和近似服從正態分佈的條件。

關於中心極限定理，有很多延伸版本，它們大都證明了某一種實驗以某一種正態分佈為極限，具體也沒啥多大的用處，想學的自己維基吧qwq

推論

中心極限定理有一個非常重要的推論。

若有$N$個獨立同分布的隨機變數$x_1, x_2, \dots, x_n$

期望為$\mu$，方差為$\sigma$

那麼設

$$Y_n = \frac{\sum_{i = 1}^n x_i - n\mu}{\sqrt{n \sigma^2}}$$

當$n$足夠大時，我們認為$Y_n$服從標準正態分佈

這玩意兒有什麼用呢？

比如說我們要對某個$f(x)$進行積分，它可能會造成非常大的精度誤差

轉成標準正態分佈可以有效的降低誤差

具體做法是：首先對我們要積分的區間$(L, R)$進行轉化，再對轉化出來的兩個$Y_n$對應的區間積分

具體示例