DP一年多沒碰過了，今天突然想找找感覺，找了經典的幾道DP複習著敲了敲。雖然最大子矩陣，滑雪，石子合併等問題也足夠經典，我還是從中找了5道最經典的DP寫了這篇博文，如果您是大一，大二想踏入程式競賽的同學可以當習題做做，如果您像我一樣不是ACMer，平時專案中也很少用DP，同樣可以回顧一下DP的奧妙。

1.最大連續子序列之和

給定K個整數的序列{ N1, N2, ..., NK }，其任意連續子序列可表示為{ Ni, Ni+1, ..., Nj }，其中 1 <= i <= j <= K。最大連續子序列是所有連續子序中元素和最大的一個， 例如給定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其最大連續子序列為{ 11, -4, 13 }，最大和為20。

狀態轉移方程： sum[i]=max(sum[i-1]+a[i],a[i])

程式碼清單：

#include "stdio.h"

main(){
	int i,sum = 0, max = 0;
	int data[] = {
		1,-2,3,-1,7
	};
	for(i = 0; i < sizeof(data)/sizeof(data[0]); i++){
		sum += data[i];
		if(sum > max)
			max = sum;
		if(sum < 0)
			sum = 0;		
	}
	printf("%d",max);
}

2.數塔問題

數塔問題 ：要求從頂層走到底層，若每一步只能走到相鄰的結點，則經過的結點的數字之和最大是多少？

轉移方程：sum[i] = max(a[左孩子] , a[右孩子]) + a[i]

#include "stdio.h"
#define N 5
main(){
	int i,j;
	int data[N][N] = {
			{9,0,0,0,0},
			{12,15,0,0,0},
			{10,6,8,0,0},
			{2,18,9,5,0},
			{19,7,10,4,16}
		};
		for(i = N-1; i > 0; i--)
			for(j = 0; j < i; j++)
				data[i-1][j] += data[i][j] > data[i][j+1] ? data[i][j] : data[i][j+1];
		
		printf("%d",data[0][0]);
		
		
}
 

3.01揹包問題

有N件物品和一個容量為V的揹包。第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。

轉移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]

#include "stdio.h"
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))



main(){
	
	int v = 10 ;  
	int n = 5 ;    
	 
 	int value[] = {0, 8 , 10 , 4 , 5 , 5};     
	int weight[] = {0, 6 , 4 , 2 , 4 , 3};   
	int i,j;    
	int dp[n+1][v+1];
	for(i = 0; i < n+1; i++)
		for(j = 0; j < v+1; j++)
			dp[i][j] = 0;


	for(i = 1; i <= n; i++){
		for(j = 1; j <= v; j++){
			if(j >= weight[i])
				dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);
			else
				dp[i][j] = dp[i-1][j];
		}
	}

	printf("%d",dp[n][v]);
}

4.最長遞增子序列(LIS)

給定一個序列 A_n = a₁ ,a₂ ,  ... , a_n ，找出最長的子序列使得對所有 i < j ，a_i < a_j 。

轉移方程：b[k]=max(max(b[j]|a[j]<a[k],j<k)+1,1);

程式碼清單：

#include "stdio.h"

main(){
	int i,j,length,max=0;
	int a[] = {
		1,-1,2,-3,4,-5,6,-7
	};
	int *b;
	b = (int *)malloc(sizeof(a));
	length = sizeof(a)/sizeof(a[0]);

	for(i = 0; i < length; i++){
		b[i] = 1;
		for(j = 0; j < i; j++){
			if(a[i] > a[j] && b[i] <= b[j]){
				b[i] = b[j] + 1;
			}
		}
	}
	for(i = 0; i < length; i++)
		if(b[i] > max)
			max = b[i];
		
	printf("%d",max);
}

5.最長公共子序列(LCS)

一個序列 S ，如果分別是兩個或多個已知序列的子序列，且是所有符合此條件序列中最長的，則 S 稱為已知序列的最長公共子序列。

轉移方程：

dp[i,j] = 0                                          i=0 || j=0

dp[i,j] = dp[i-1][j-1]+1                        i>0,j>0, a[i] = b[j]       

dp[i,j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])        i>0,j>0, a[i] != b[j]

#include "stdio.h"
#define M 8
#define N 6

		
void printLSC(int i, int j,char *a, int status[][N]){
	if(i == 0 || j== 0)
		return;
	if(status[i][j] == 0){
		printLSC(i-1,j-1,a,status);
		printf("%c",a[i]);
	}else{
		if(status[i][j] == 1)
			printLSC(i-1,j,a,status);
		else
			printLSC(i,j-1,a,status);
	}
}
main(){
	int i,j;

	char a[] = {' ','A','B','C','B','D','A','B'};
	char b[] = {' ','B','D','C','B','A'};
	int status[M][N]; //儲存狀態
	int dp[M][N];

	for(i = 0; i < M; i++)
		for(j = 0; j < N; j++){
			dp[i][j] = 0;
			status[i][j] = 0;
		}
			
	for(i = 1; i < M; i++)
		for(j = 1; j < N; j++){
			if(a[i] == b[j]){
				dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
				status[i][j] = 0;
			}
			else if(dp[i][j-1] >= dp[i-1][j]){
				dp[i][j] = dp[i][j-1];
				status[i][j] = 2;
			}
			else{
				dp[i][j] = dp[i-1][j];
				status[i][j] = 1;
			}
				
				
		}
	printf("最大長度：%d",dp[M-1][N-1]);
	printf("\n");
	printLSC(M-1,N-1,a,status);
	printf("\n");

}

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  作者：nash_  歡迎轉載，與人分享是進步的源泉！

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