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求全排列的數學方法(洛谷1088 火星人noip2004普及組第4題)

人類終於登上了火星的土地並且見到了神祕的火星人。人類和火星人都無法理解對方的語言,但是我們的科學家發明了一種用數字交流的方法。這種交流方法是這樣的,首先,火星人把一個非常大的數字告訴人類科學家,科學家破解這個數字的含義後,再把一個很小的數字加到這個大數上面,把結果告訴火星人,作為人類的回答。

火星人用一種非常簡單的方式來表示數字――掰手指。火星人只有一隻手,但這隻手上有成千上萬的手指,這些手指排成一列,分別編號為1,2,3……。火星人的任意兩根手指都能隨意交換位置,他們就是通過這方法計數的。

一個火星人用一個人類的手演示瞭如何用手指計數。如果把五根手指――拇指、食指、中指、無名指和小指分別編號為1,2,3,4和5,當它們按正常順序排列時,形成了5位數12345,當你交換無名指和小指的位置時,會形成5位數12354,當你把五個手指的順序完全顛倒時,會形成54321,在所有能夠形成的120個5位數中,12345最小,它表示1;12354第二小,它表示2;54321最大,它表示120。下表展示了只有3根手指時能夠形成的6個3位數和它們代表的數字:

三進位制數

123 132 213 231 312 321

代表的數字

1 2 3 4 5 6

現在你有幸成為了第一個和火星人交流的地球人。一個火星人會讓你看他的手指,科學家會告訴你要加上去的很小的數。你的任務是,把火星人用手指表示的數與科學家告訴你的數相加,並根據相加的結果改變火星人手指的排列順序。輸入資料保證這個結果不會超出火星人手指能表示的範圍。

輸入格式:

輸入檔案martian.in包括三行,第一行有一個正整數N,表示火星人手指的數目(1 <= N <= 10000)。第二行是一個正整數M,表示要加上去的小整數(1 <= M <= 100)。下一行是1到N這N個整數的一個排列,用空格隔開,表示火星人手指的排列順序。

輸出格式:

輸出檔案martian.out只有一行,這一行含有N個整數,表示改變後的火星人手指的排列順序。每兩個相鄰的數中間用一個空格分開,不能有多餘的空格。

輸入樣例#1:
5
3
1 2 3 4 5
輸出樣例#1:
1 2 4 5 3
下列思路轉自百度文庫~
設排列方案A=a1a2……an。按照遞增順序得出的排列方案A的下一個排列方案,稱之為A的一個置換。如果能夠直接找出置換方法的話,則從當前排列出發,連續進行m次置換便可得出問題的解。顯然,這個演算法的空間效率是完全能夠達到要求,因為可以採用陣列儲存排列方案(靜態資料區的容量為64K)。而時間效率則取決於置換速度。下面,我們給出一個時間效率為O(n*logn)的置換方法:
  由右而左掃描遞減區間的前驅元素ai(ai<ai+1,ai+1> ai+2……>an)。在遞減區間ai+1…an中尋找大於ai且與ai最接近的元素ak(即ak-ai= 
 ),ai與ak交換,並對遞減區間進行遞增排序,由此得出的排列即為a1…ai…ak…an的下一個置換。 
1 4 6 2 9 5 8 7 3 ai(ai<ai+1,ai+1> ai+2……>an)
   5是遞減區間8 7 3的前驅元素,該區間尋找大於5且與5最接近的元素是7。5和7交換,遞減區間8 5 3按遞增排序,生成的下一個排列為
1 4 6 2 9 7 3 5 8
 顯然,該排列為1 4 6 2 9 5 8 7 3的一個置換。
接下來放上我的程式碼


#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 40000
#define inf 999990

using namespace std;

int a[maxn],n;

void swap(int x,int y)
{
   int t=a[x];a[x]=a[y];a[y]=t;
}

int solve()
{
   int i=n;
   while(a[i]<a[i-1])
     i--;
    i--;
    int min=inf,point=0;
    for(int k=i+1;k<=n;k++)
    {
	   if(min>a[k]-a[i]&&a[k]>a[i])
	   {
	       point=k;
	       min=a[k]-a[i];
	   }
	   if(point==0)
	     return 1;
	}
	swap(i,point);
	sort(a+i+1,a+1+n);
	return 0;
}

int main()
{
	int t;
	cin>>n;
	cin>>t;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	  cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=t;i++)
	  if(solve())
	    break;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	  cout<<a[i]<<" ";
    return 0;
}

 orz一下發明出此方法的大神。~

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