題目

輸入凸 n 邊形 p 1 ,p 2 ,··· ,p n , 其中頂點按凸多邊形邊界的逆時針序給出，多邊形中不相鄰頂點間的連線稱
為弦。試設計一個動態規劃演算法，用若干條弦將凸邊形 p 1 ,p 2 ,··· ,p n 剖分成一些無公共區域的三角形，使
得所有三角形的周長之和最小。

優化子結構及子問題重疊性

設所有三角形周長之和最小的一個劃分為MTD，劃分的所有不相鄰頂點連線為MTLi(i從1到n-2，因為n凸多邊形劃分一定產生n-2條連線)

這個問題是要求MTD，首先最簡單的考慮是凸多邊形中最短的不相鄰頂點連線是否一定在這個MTD中，證來證去發現並不能證明這個觀點是否正確。

然後就藉助畫圖，考慮假設這個MTD已經知道，那麼會說明什麼，或者有什麼結論，最好是與子問題相關的結論，因為動態規劃的關鍵就是找到問題的優化子結構。

經過初步的畫圖觀察可以發現，n邊形劃分不相交的三角形構成的周長MTC其實是由兩部分組成：

MTC=凸多邊形的周長+2*（MTL₁+……+MTL_n-2）

所以，我們需要做的只是找到n-2條和最小的不相鄰頂點連線MTL。問題就轉化為找到最小的MTL，相比於原始問題，問題變得有些清晰了。

現在要做的就是找到最小的MTL這個問題是否具有優化子結構？如果有，優化子結構是什麼？如果能夠根據子結構的解來構造最終問題的解？經過一番思考，終於還是一無所獲。於是翻開駱老師的《演算法設計與分析》，發現在構造優化子結構時，首先將最優的方案設出來，如在0-1揹包問題上，先設如果<x1,x2,x3,……xn>是0-1揹包問題的最優解，然後……。

那麼能不能先假設凸多邊形最優的不相鄰頂點連線劃分為<P_k1P_k2，P_k3P_k4……PiPj……P_knP_km>，那麼從最優劃分中任取PiPj，如果能證明PiPj將凸多邊形分成的兩個小凸多邊形的三角形劃分也是各自的最優解，那麼原問題的最優解可以通過求解各個子問題後，組合來得到，具體就是，對於n凸多邊形T，用任意一條不相鄰的頂點PiPj將其劃分為兩個小凸多邊形T1,T2，那麼T的最優解則是MIN(T1的劃分連線長度+T2劃分的連線長度+PiPj)，只需把所有小於n的凸多邊形的最小周長劃分求出來，然後遍歷所有的PiPj劃分（遍歷所有i,j |i-j|），即可得到T的最優解。

舉個例子，如圖1-1，如果<P1P4，P1P3>是五邊形的最優劃分，那麼由劃分產生的任意凸四邊形一定是該凸四邊形的最優劃分，否則，如果四邊形P1P2P3P4的最優劃分不是p1p3而是p2p4，即長度p1p3>p2p4，那麼<P1P4，P2P4>構成原問題的最優劃分，與原問題的最優劃分是<P1P4，P1P3>矛盾，因此p1p3是四邊形P1P2P3P4的最優劃分。或者說，對於凸n邊形T最優劃分<P_k1

P_k2，P_k3P_k4……PiPj……P_knP_km>，其中的一條劃分PiPj將其劃分成T1，T2兩部分，如果T1或T2現在得劃分不是最優劃分，那麼通過變換T1或T2的劃分，能夠得到更優的原問題T的解，但這個解與T的最優劃分<P_k1P_k2，P_k3P_k4……PiPj……P_knP_km>不符，矛盾，因此任意T的最優劃分中的PiPj劃分出的T1,T2一定是各自的最優解。

現在我們可以通過先求出所有n-1多邊形的最優解來構造n邊形的最優解。意思就是在凸n邊形中，從下向上，求每個凸五邊形的最優劃分為四邊形的劃分加上第五條邊，一定有一個最優的凸五邊形劃分，求每個凸六邊形的最優劃分為五邊形的劃分加上第五條邊，一定有一個最優的凸六邊形劃分，……。求凸n邊形的最優劃分為n-1邊形劃分加上第n條邊，一定有一個最優的凸n邊形劃分。

虛擬碼

注意：MTDik，其中i指i邊形，k指凸n邊形中共有k個i邊形，PiPj是指i-1邊形加上第i個劃分PiPj,構成i邊形的完整劃分。

1.     Ifn=3 Then

2.         return 0;

3.     Ifn=4 Then

4.         求出兩條對角線中最小的那個，返回最小劃分

5.     If n>4Then

6.       求出所有4邊形的最優劃分，即最小劃分長度MTD4k，

7.          for i=5 To n-1 Do

8.               for 凸n邊形中所有i邊形  Do

9.                    MTDik= MTDi-1k + PiPj

10.      for 凸n邊形中所有n-1邊形  Do

11.          MTD=MTD>MTDn-1k +PiPj ？ MTD: MTDn-1k +PiPj

12. returnMTD

總結

待。