§6.1  定積分的元素法

一 再論曲邊梯形面積計算

設在區間上連續，且，求以曲線為曲邊，底為的曲邊梯形的面積。

1、化整為零

用任意一組分點  

將區間分成 個小區間，其長度為

並記 

相應地，曲邊梯形被劃分成個窄曲邊梯形，第個窄曲邊梯形的面積記為。

於是  

2、以不變高代替變高，以矩形代替曲邊梯形，給出“零”的近似值

3、積零為整，給出“整”的近似值

4、取極限，使近似值向精確值轉化

上述做法蘊含有如下兩個實質性的問題：

(一)、若將分成部分割槽間，則相應地分成部分量，而

這表明：所求量對於區間具有可加性。

(二)、用近似，誤差應是的高階無窮小。

只有這樣，和式的極限方才是精確值

故，確定 是關鍵。

通過對求曲邊梯形面積問題的回顧、分析、提煉， 我們可以給出用定積分計算某個量的條件與步驟。

二、元素法

1、能用定積分計算的量，應滿足下列三個條件

(1)、與變數的變化區間有關；

(2)、對於區間具有可加性；

(3)、部分量可近似地表示成。

2、寫出計算的定積分表示式步驟

(1)、根據問題，選取一個變數為積分變數，並確定它的變化區間；

(2)、設想將區間分成若干小區間，取其中的任一小區間，

求出它所對應的部分量的近似值

   ( 為上一連續函式)

則稱為量的元素，且記作。

(3)、以的元素作被積表示式，以為積分割槽間，得

這個方法叫做元素法，其實質是找出的元素的微分表示式

因此，也稱此法為微元法。

【例1】已知閘門上水的壓強(單位面積上壓力的大小)是水深的函式，且。若閘門高3米，寬2米，求水面與閘門頂相齊時閘門所承受的水壓力。

解：選擇為積分變數，則 

位於水深與 之間的閘門所承受的水壓力近似地為

故  

( 注：這裡，是水壓力元素 )

§6.2  平面圖形的面積

一、直角座標的情形

由曲線 及直線 與  (  ) 與 軸所圍成的曲邊梯形面積。

  其中：為面積元素。

由曲線  與  及直線 ，(  )且所圍成的圖形面積。

其中： 為面積元素。

【例1】計算拋物線與直線所圍成的圖形面積。

解：1、先畫所圍的圖形簡圖

解方程 , 得交點： 和 

2、選擇積分變數並定區間

選取為積分變數，則

3、給出面積元素

在上，  

在上，  

4、列定積分表示式

另解：若選取為積分變數，則 

顯然，解法二較簡潔，這表明積分變數的選取有個合理性的問題。

【例2】求橢圓所圍成的面積 。

解：據橢圓圖形的對稱性，整個橢圓面積應為位於第一象限內面積的4倍。

取為積分變數，則 ， 

故                          ( * )

作變數替換    

則 ，  

                          ( * * )

於是，我們可給出曲邊梯形的曲邊由引數方程給出時，其面積計算公式

設曲邊梯形的曲邊由引數方程

給出，曲邊梯形的面積計算公式為

其中：及分別曲線的起點與終點的所對應的引數值。

二 極座標情形

設平面圖形是由曲線 及射線，所圍成的曲邊扇形。

取極角為積分變數，則 ,在平面圖形中任意擷取一典型的面積元素，它是極角變化區間為的窄曲邊扇形。

的面積可近似地用半徑為， 中心角為的窄圓邊扇形的面積來代替，即

從而得到了曲邊梯形的面積元素 

從而  

【例3】計算心臟線所圍成的圖形面積。

解： 由於心臟線關於極軸對稱，

§6.3  體積

一、旋轉體的體積

旋轉體是由一個平面圖形繞該平面內一條定直線旋轉一週而生成的立體，該定直線稱為旋轉軸。

計算由曲線直線，及軸所圍成的曲邊梯形，繞軸旋轉一週而生成的立體的體積。

取為積分變數，則，對於區間上的任一區間，它所對應的窄曲邊梯形繞軸旋轉而生成的薄片似的立體的體積近似等於以為底半徑，為高的圓柱體體積。即：體積元素為

所求的旋轉體的體積為

【例1】求由曲線及直線，和軸所圍成的三角形繞軸旋轉而生成的立體的體積。

解：取為積分變數，則

二、平行截面面積為已知的立體的體積( 截面法 )

由旋轉體體積的計算過程可以發現：

如果知道該立體上垂直於一定軸的各個截面的面積，那麼這個立體的體積也可以用定積分來計算。

取定軸為軸， 且設該立體在過點，且垂直於軸的兩個平面之內， 以表示過點且垂直於軸的截面面積。

取為積分變數，它的變化區間為。立體中相應於上任一小區間的一薄片的體積近似於底面積為，高為的扁圓柱體的體積。

即：體積元素為  

於是，該立體的體積為  

【例2】計算橢圓 所圍成的圖形繞軸旋轉而成的立體體積。

解：這個旋轉體可看作是由上半個橢圓及軸所圍成的圖形繞軸旋轉所生成的立體。

在處，用垂直於軸的平面去截立體所得截面積為

【例3】計算擺線的一拱

以及所圍成的平面圖形繞軸旋轉而生成的立體的體積。

解：

請自行計算定積分 

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