參考書：《矩陣論》第3版，程雲鵬 張凱院 徐仲編著 西北工業大學出版社

廣義逆矩陣：該矩陣對於奇異矩陣甚至長方矩陣都存在、具有通常逆矩陣的一些性質、當矩陣非奇異時，它還原到通常的逆矩陣，滿足以上3條性質的矩陣叫做廣義逆矩陣

1920年，E.H.Moore提出廣義逆矩陣的概念，1955年，R.Penrose以更明確的形式給出Moore的廣義逆矩陣定義。

廣義逆矩陣在數理統計、系統理論、優化計算和控制論等多領域中有重要應用，廣義逆矩陣理論與應用的研究是矩陣論的一個重要分支

1. 投影矩陣

1）投影運算元與投影矩陣

    a）投影運算元

        投影：設L和M都是n維復空間C的子空間，且C為L和M的直和，任意屬於C的向量x都可唯一分解為x = y + z，其中y屬於L，z屬於M，稱y是x沿著M到L的投影

        投影運算元（定義6.1）：將屬於n維復空間C的任意向量變為沿著M到L的投影的變換稱為沿著M到L的投影運算元

        投影運算元的值域為L，零空間為M

        投影運算元為線性運算元

    b）投影矩陣

        定義6.2：投影運算元在n維復空間C下的基下的矩陣稱為投影矩陣

    c）投影矩陣與冪等矩陣的關係

        引理1：若A是n*n復矩陣空間的冪等矩陣，則N(A) = R(I - A)

        定理6.1：矩陣P為投影矩陣的充要條件是P維冪等矩陣；證明據投影矩陣的定義、冪等矩陣的定義、引理1、直和概念

    d）求投影矩陣方法：

        假定dimL = r，則dimM = n-r，在子空間L和M中分別取定基底x1,...,xr；y1,...,yn-r，做分塊矩陣X = (x1,...,xr)，Y = (y1,...,yn-r)，從而P[X,Y] = [X,0]，因此投影矩陣為P = [X,0][X,Y]逆

    e）冪等矩陣在廣義逆矩陣中具有重要作用，在某種意義上相等於單位矩陣在通常的逆矩陣上所起的作用

2）正交投影運算元與正交投影矩陣

    a）投影運算元的一個子類

    b）正交投影運算元、矩陣的定義（定義6.3）： L的正交補空間到L

    c）定理6.2：矩陣P為正交投影矩陣的充要條件是P為冪等Hermite矩陣

    d）已知子空間L的基後，正交投影矩陣的求法：P = X((XH*X)逆)XH

2. 廣義逆矩陣的存在、性質及構造方法

1）Penrose的廣義逆矩陣

2）廣義逆矩陣的性質及構造方法

3）Moore-Penrose逆的等價定義

3. 廣義逆矩陣的計算方法

1）利用Hermite標準型計算矩陣的{1}-逆和{1,2}-逆

2）利用滿秩分解求廣義逆矩陣

3）計算A+的Zlobec公式

4）Greville方法

5）一些特殊分塊矩陣的廣義逆矩陣

6）計算一類實Hessenberg矩陣的廣義逆

7）計算A+的迭代方法

4. 廣義逆矩陣與線性方程組的求解

1）線性方程組的相容性、通解與廣義{1}-逆

2）相容線性方程組的極小範數解與廣義{1,4}-逆

3）矛盾方程組的最小二乘解與廣義{1,3}-逆

4）矛盾方程組的極小範數最小二乘解與廣義逆矩陣A+

5）矩陣方程AXB = D的極小範數最小二乘解

5.約束廣義逆和加權廣義逆

1）約束廣義逆

2）加權廣義逆

6. Drazin廣義逆

1）方陣的指標

2）Drazin逆

3）Drazin逆的譜性質

4）Drazin逆的計算方法