五種典型的遞推關係

1.Fibonacci數列

在所有的遞推關係中，Fibonacci數列應該是最為大家所熟悉的。在最基礎的程式設計語言Logo語言中，就有很多這類的題目。而在較為複雜的Basic、Pascal、C語言中，Fibonacci數列類的題目因為解法相對容易一些，逐漸退出了競賽的舞臺。可是這不等於說Fibonacci數列沒有研究價值，恰恰相反，一些此類的題目還是能給我們一定的啟發的。
Fibonacci數列的代表問題是由義大利著名數學家Fibonacci於1202年提出的“兔子繁殖問題”(又稱“Fibonacci問題”)。
問題的提出：有雌雄一對兔子，假定過兩個月便可繁殖雌雄各一的一對小兔子。問過n個月後共有多少對兔子？
　　解

：設滿x個月共有兔子Fx對，其中當月新生的兔子數目為Nx對。第x-1個月留下的兔子數目設為Fx-1對。則：
Fx=Nx+ Fx-1
　　 Nx=Fx-2 (即第x-2個月的所有兔子到第x個月都有繁殖能力）
　　 ∴ Fx=Fx-1+Fx-2 邊界條件：F0=0，F1=1
由上面的遞推關係可依次得到：
　　　F2=F1+F0=1，F3=F2+F1=2，F4=F3+F2=3，F5=F4+F3=5，……。
Fabonacci數列常出現在比較簡單的組合計數問題中，例如以前的競賽中出現的“骨牌覆蓋”問題。在優選法中，Fibonacci數列的用處也得到了較好的體現。

2.Hanoi塔問題

問題的提出：Hanoi塔由n個大小不同的圓盤和三根木柱a,b,c組成。開始時，這n個圓盤由大到小依次套在a柱上，如圖3-11所示。
要求把a柱上n個圓盤按下述規則移到c柱上：

　　(1)一次只能移一個圓盤；
　　(2)圓盤只能在三個柱上存放；
　　(3)在移動過程中，不允許大盤壓小盤。
　　問將這n個盤子從a柱移動到c柱上，總計需要移動多少個盤次？
　　
解：設hn為n個盤子從a柱移到c柱所需移動的盤次。顯然，當n=1時，只需把a 柱上的盤子直接移動到c柱就可以了，故h1=1。當n=2時，先將a柱上面的小盤子移動到b柱上去；然後將大盤子從a柱移到c 柱；最後，將b柱上的小盤子移到c柱上，共記3個盤次，故h2=3。以此類推，當a柱上有n(n2)個盤子時，總是先借助c柱把上面的n-1個盤子移動到b柱上，然後把a柱最下面的盤子移動到c柱上；再借助a柱把b柱上的n-1個盤子移動到c柱上；總共移動hn-1+1+hn-1個盤次。
　　 ∴hn=2hn-1+1 邊界條件：h1=1

3.平面分割問題

問題的提出：設有n條封閉曲線畫在平面上，而任何兩條封閉曲線恰好相交於兩點，且任何三條封閉曲線不相交於同一點，問這些封閉曲線把平面分割成的區域個數。
解：設an為n條封閉曲線把平面分割成的區域個數。 由圖3-13可以看出：a2-a1=2；a3-a2=4；a4-a3=6。

從這些式子中可以看出an-an-1=2(n-1)。當然，上面的式子只是我們通過觀察4幅圖後得出的結論，它的正確性尚不能保證。下面不妨讓我們來試著證明一下。當平面上已有n-1條曲線將平面分割成an-1個區域後，第n-1條曲線每與曲線相交一次，就會增加一個區域，因為平面上已有了n-1條封閉曲線，且第n條曲線與已有的每一條閉曲線恰好相交於兩點，且不會與任兩條曲線交於同一點，故平面上一共增加2(n-1)個區域，加上已有的an-1個區域，一共有an-1+2(n-1)個區域。所以本題的遞推關係是an=an-1+2(n-1)，邊界條件是a1=1。
平面分割問題是競賽中經常觸及到的一類問題，由於其靈活多變，常常感到棘手，下面的例8是另一種平面分割問題，有興趣的讀者不妨自己先試著求一下其中的遞推關係。

4.Catalan數

Catalan數首先是由Euler在精確計算對凸n邊形的不同的對角三角形剖分的個數問題時得到的，它經常出現在組合計數問題中。
問題的提出：在一個凸n邊形中，通過不相交於n邊形內部的對角線，把n邊形拆分成若干三角形，不同的拆分數目用hn表示，hn即為Catalan數。例如五邊形有如下五種拆分方案(圖3-14)，故h5=5。求對於一個任意的凸n邊形相應的hn。

Catalan數是比較複雜的遞推關係，尤其在競賽的時候，選手很難在較短的時間裡建立起正確的遞推關係。當然，Catalan數類的問題也可以用搜索的方法來完成，但是，搜尋的方法與利用遞推關係的方法比較起來，不僅效率低，程式設計複雜度也陡然提高。

第二類Stirling數

在五類典型的遞推關係中，第二類Stirling是最不為大家所熟悉的。也正因為如此，我們有必要先解釋一下什麼是第二類Strling數。
**【定義2】**n個有區別的球放到m個相同的盒子中，要求無一空盒，其不同的方案數用S(n,m)表示，稱為第二類Stirling數。
下面就讓我們根據定義來推導帶兩個引數的遞推關係——第二類Stirling數。
解：設有n個不同的球，分別用b1,b2,……bn表示。從中取出一個球bn，bn的放法有以下兩種：
　　 ①bn獨自佔一個盒子；那麼剩下的球只能放在m-1個盒子中，方案數為S2(n-1,m-1)；
　　 ②bn與別的球共佔一個盒子；那麼可以事先將b1,b2,……bn-1這n-1個球放入m個盒子中，然後再將球bn可以放入其中一個盒子中，方案數為mS2(n-1,m)。
綜合以上兩種情況，可以得出第二類Stirling數定理：
　　　 【定理】S2(n,m)=mS2(n-1,m)+S2(n-1,m-1) (n>1,m1)
邊界條件可以由定義2推匯出：
　　　 S2(n,0)=0；S2(n,1)=1；S2(n,n)=1；S2(n,k)=0(k>n)。
第二類Stirling數在競賽中較少出現，但在競賽中也有一些題目與其類似，甚至更為複雜。讀者不妨自己來試著建立其中的遞推關係。

小結：通過上面對五種典型的遞推關係建立過程的探討，可知對待遞推類的題目，要具體情況具體分析，通過找到某狀態與其前面狀態的聯絡，建立相應的遞推關係。

一步一步演算法篇