向量的點積：

假設向量u (u _x , u _y )和v (v _x , v _y )，u 和v 之間的夾角為α，從三角形的邊角關係等式出發，可作出如下簡單推導：

  |u - v ||u - v | = |u ||u | + |v ||v | - 2|u ||v |cosα  

===>
 
  （u _x - v _x ）² + (u _y - v _y )²  = u _x² + u _y² +v _x² +v _y² - 2|u ||v |cosα

===>
  
   -2u _xv _x - 2u _yv _y = -2|u ||v |cosα

===>

   cosα = (u

_xv _x + u _yv _y ) / (|u ||v |)

這樣，就可以根據向量u 和v 的座標值計算出它們之間的夾角。

定義u 和v 的點積運算： u . v = (u _xv _x + u _yv _y )，

上面的cosα可簡寫成： cosα = u . v / (|u ||v |)

當u . v = 0時（即u _xv _x + u _yv _y = 0），向量u 和v 垂直；當u . v > 0時，u 和v 之間的夾角為銳角；當u . v < 0時，u 和v 之間的夾角為鈍角。

可以將運算從2維推廣到3維。

向量的叉積：

假設存在向量u(u _x , u _y , u _z ), v(v

_x , v _y , v _z ), 求同時垂直於向量u , v 的向量w (w _x , w _y , w _z ).

因為w 與u 垂直，同時w 與v 垂直，所以w . u = 0, w . v = 0; 即

u _xw _x + u _yw _y + u _zw _z = 0;
v _xw _x + v _yw _y + v _zw _z = 0;

分別削去方程組的w _y 和w _x 變數的係數，得到如下兩個等價方程式：

(u _xv _y - u _yv _x )w _x = (u _yv _z - u _zv _y )w _z
(u _xv _y - u _yv _x )w _y = (u _zv _x - u _xv _z )w _z

於是向量w的一般解形式為：

w = (w _x , w _y , w _z ) = ((u _yv _z - u _zv _y )w _z / (u _xv _y - u _yv _x ), (u _zv _x - u _xv _z )w _z / (u _xv _y - u _yv _x ), w _z )
  = (w _z / (u _xv _y - u _yv _x ) * (u _yv _z - u _zv _y , u _zv _x - u _xv _z , u _xv _y - u _yv _x ))

因為：

   u _x (u _yv _z - u _zv _y ) + u _y (u _zv _x - u _xv _z ) + u _z (u _xv _y - u _yv _x )
 = u _xu _yv _z - u _xu _zv _y + u _yu _zv _x - u _yu _xv _z + u _zu _xv _y - u _zu _yv _x
 = (u _xu _yv _z - u _yu _xv _z ) + (u _yu _zv _x - u _zu _yv _x ) + (u _zu _xv _y - u _xu _zv _y )  
 = 0 + 0 + 0 = 0

   v _x (u _yv _z - u _zv _y ) + v _y (u _zv _x - u _xv _z ) + v _z (u _xv _y - u _yv _x )  
 = v _xu _yv _z - v _xu _zv _y + v _yu _zv _x - v _yu _xv _z + v _zu _xv _y - v _zu _yv _x
 = (v _xu _yv _z - v _zu _yv _x ) + (v _yu _zv _x - v _xu _zv _y ) + (v _zu _xv _y - v _yu _xv _z )
 = 0 + 0 + 0 = 0

由此可知，向量(u _yv _z - u _zv _y , u _zv _x - u _xv _z , u _xv _y - u _yv _x )是同時垂直於向量u 和v 的。

為此，定義向量u = (u _x , u _y , u _z )和向量 v = (v _x , v _y , v _z )的叉積運算為：u x v = (u _yv _z - u _zv _y , u _zv _x - u _xv _z , u _xv _y - u _yv _x )

上面計算的結果可簡單概括為：向量u x v 垂直於向量u 和v 。

根據叉積的定義，沿x座標軸的向量i = (1, 0, 0)和沿y座標軸的向量j = (0, 1, 0)的叉積為：

 i x j = (1, 0, 0) x (0, 1, 0) = (0 * 0 - 0 * 1, 0 * 0 - 1 * 0, 1 * 1 - 0 * 0) = (0, 0, 1) = k

同理可計算j x k :
 
 j x k = (0, 1, 0) x (0, 0, 1) = (1 * 1 - 0 * 0, 0 * 0 - 0 * 1, 0 * 0 - 0 * 0) = (1, 0, 0) = i

以及k x i :

 k x i = (0, 0, 1) x (1, 0, 0) = (0 * 0 - 1 * 0, 1 * 1 - 0 * 0, 0 * 0 - 0 * 0) = (0, 1, 0) = j

由叉積的定義，可知：

 v x u = (v _yu _z - v _zu _y , v _zu _x - v _xu _z , v _xu _y - v _yu _x ) = - (u x v )